2016届高考数学一轮总复习 2.4函数的奇偶性与周期性练习

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1、第四节　函数的奇偶性与周期性时间：45分钟　分值：100分一、选择题1．(2015·深圳调研)下列函数中，为奇函数的是(　　)A．y＝2x＋B．y＝x，x∈{0,1}C．y＝x·sinxD．y＝解析　A中函数是偶函数；B中函数是非奇非偶函数；C中函数是偶函数；D中函数是奇函数．答案　D2．函数f(x)＝lnx2(　　)A．是偶函数且在(－∞，0)上单调递增B．是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增C．是奇函数且在(0，＋∞)上单调递减D．是奇函数且在(－∞，0)上单调递减解析　函数f(x)的定义域为x≠0，当x>0时，f(x)＝lnx2＝2lnx，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(

2、－x)＝ln(－x)2＝lnx2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．答案　B3．若函数f(x)＝是奇函数，则a的值为(　　)A．0B．1C．2D．4解析　由f(－1)＝－f(1)，得＝，∴(－1＋a)2＝(1＋a)2解得a＝0.答案　A4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于(　　)A．－2B．2C．－98D．98解析　∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的函数．∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)．又∵f(x)在R上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(－1)＝－f(1)．而当x∈(0,2)时，f

3、(x)＝2x2，∴f(1)＝2×12＝2.∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A.答案　A5．函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)等于(　　)A．13B．2C.D.解析　∵f(x)·f(x＋2)＝13，∴f(x＋2)＝，则f(x)＝，故f(x)·f(x＋2)＝·＝13，即f(x)f(x－2)＝13，∴f(x＋2)＝f(x－2)，故函数f(x)的周期为4，∴f(99)＝f(3)＝＝.答案　D6．设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则x·f(x)<0的解集是(　　)A．{x

4、－33}B．{x

5、x<

6、－3，或0

7、x<－3，或x>3}D．{x

8、－3

9、－30时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.解析　∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝＋1，∴当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，即x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.答案　－－18．已知函数y＝f(x)＋x3为偶函数，且f(10)＝10，若函数g(x)＝f(x)＋4

10、，则g(－10)＝________.解析　设h(x)＝f(x)＋x3，由题意可得h(x)为偶函数，所以h(－10)＝h(10)，即f(－10)＋(－10)3＝f(10)＋103，故f(－10)＝f(10)＋2×103＝2010，所以g(－10)＝f(－10)＋4＝2014.答案　20149．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，都有ff(x)＝2014，且当x∈时，f(x)＝log2(2x＋1)，则f(－2015)＋f(2013)＝________.解析　因为函数f(x)为奇函数且f(0)有定义，故f(0)＝0，且f(－2015)＝－f(2015)．当x≥0时，由ff(x)

11、＝2014，可得f＝，故f(x＋3)＝＝f(x)．可得f(2015)＝f(3×671＋2)＝f(2)，f(2013)＝f(3×671)＝f(0)．由已知f(0)＝0，而f(2)＝f＝，又f＝log2＝log22＝1，所以f(2)＝＝2014，即f(2015)＝2014，故f(－2015)＝－2014.综上，f(－2015)＋f(2013)＝－2014＋0＝－2014.答案　－2014三、解答题10．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x3－.(2)f(x)＝＋.(3)f(x)＝解　(1)原函数的定义域为{x

12、x≠0}，并且对于定义域内的任意一个x都有f(－x)＝(－x)3－＝－＝－f

13、(x)，从而函数f(x)为奇函数．(2)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x>0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．故该函数为奇函数．11．(2015