高考数学复习 第二章 函数 2.4 函数的奇偶性

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1、§2.4函数的奇偶性基础自测1.（2008·福建理，4）函数f（x）=x3+sinx+1（x∈R），若f（a）=2，则f（-a）的值为（）A.3B.0C.-1D.-2答案B2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为（）A.-1B.0C.1D.2答案B3.（2009·新郑二中模拟）设偶函数f(x)=loga

2、x-b

3、在（-∞,0）上单调递增，则f(a+1)与f(b+2)的大小关系为（）A.f(a+1)≥f(b+2)B.f(a+1)≤f(b+2)C.f(a+1)＜f(b+2)D.f(a+1)＞f(b+2)答案

4、D4.已知f（x）=是奇函数，则实数a的值等于（）A.1B.-1C.0D.±1答案A5.函数f(x),g(x)在区间［-a，a］(a＞0）上都是奇函数，则下列结论：①f(x)-g(x)在［-a,a］上是奇函数；②f(x)+g(x)在［-a,a］上是奇函数；③f(x)·g(x)在［-a,a］上是偶函数；④f(0)+g(0)=0,其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4答案D例1判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=;8(2)f(x)=log2(x+)(x∈R);(3)f(x)=lg

5、x-2

6、.解（1）∵x2-1≥0且1-x2≥0,∴

7、x=±1,即f(x)的定义域是{-1，1}.∵f（1）=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),故f(x)既是奇函数又是偶函数.（2）方法一易知f(x)的定义域为R，又∵f(-x)=log2［-x+］=log2=-log2(x+)=-f(x),∴f(x)是奇函数.方法二易知f(x)的定义域为R，又∵f（-x）+f（x）=log2［-x+］+log2(x+)=log21=0,即f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.（3）由

8、x-2

9、＞0，得x≠2.∴f（x）的定义域{x

10、x≠2}关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.例

11、2已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求证：f(x)是奇函数；（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.（1）证明∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称.∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.（2）解方法一设x,y∈R+，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x+y）-f（x）=f（y）.

12、∵x∈R+，f（x）＜0,∴f(x+y)-f(x)＜0,∴f(x+y)＜f(x).∵x+y＞x,∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f（x）为奇函数，f（0）=0，∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值.∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3.∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.方法二设x1＜x2,且x1,x2∈R.则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).∵x2

13、-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.即f(x)在R上单调递减.∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.∵f（1）=-，∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.∴所求f(x）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.例3（12分）已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).（1）求证：f(x)是周期函数；（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=x,求使f(x)=-在［0，2009］上的所有x的个数.8（1）证明∵f（x+2）=-f（x），

14、∴f（x+4）=-f（x+2）=-［-f（x）］=f（x），2分∴f（x）是以4为周期的周期函数.3分（2）解当0≤x≤1时，f(x)=x,设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f（-x）=（-x）=-x.∵f(x)是奇函数，∴f（-x）=-f（x）,∴-f（x）=-x，即f(x)=x.5分故f(x)=x(-1≤x≤1)6分又设1＜x＜3,则-1＜x-2＜1,∴f(x-2)=(x-2),7分又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f（（-x）+2）=-［-f（-x）］=-f（x），∴-f（x