正文描述:《高考数学复习点拨 函数奇偶性判断》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、函数奇偶性判断 在函数奇偶性概念的学习中,应多方面、多角度地思考概念的内涵,要掌握函数奇偶性定义的等价形式,注重寻求简捷的解题方法,函数奇偶性的定义是:如果对于函数定义域内任意一个x,都有(或),那么函数就叫做奇函数(或偶函数)。函数奇偶性的定义反映在定义域上:若是奇函数或偶函数,则对于定义域D上的任意一个x,都有,即定义域是关于原点对称的。函数奇偶性定义给出了判断奇偶函数的方法。 1.相加判别法 对于函数定义域内的任意一个x,若,则是奇函数;若,则是偶函数。 例1 判断函数的奇偶性。 解法1:利用定义判断,由 ,可知是奇函数。 解法2:由x∈R,知。因为 ,所以是奇函
2、数。 2.相减判别法 对于函数定义域内任意一个x,若,则是奇函数;若,则是偶函数。 例2 判断函数的奇偶性。 解:由x∈R,知。因为,所以是偶函数。 3.相乘判别法 对于函数定义域内任意一个x,若,则是奇函数;若,则是偶函数。 例3 证明函数是偶函数。 证明:由x∈R,知。因为 ,所以是偶函数。 4.相除判别法 对于函数定义域内任意一个x,设,若,则是奇函数;若,则是偶函数。 例4 证明函数是奇函数。 证明:由,知且,所以定义域关于原点对称。 因为,所以是奇函数。 点评:上述各例,若用定义判定,则困难程度可想而知。用等价定义判断解析式较为复杂的函数的奇偶性时,
3、方便快捷,可化繁为简,会使大家感到思路清晰,目标明确,思维视野大为开阔,值得同学们注意。 5、对称判断法 其判定的法则是:(1)看关系式是否出现(此为奇函数)或(此为偶函数),(2)看定义域是否关于原点对称;(3)看图象是否关于原点对称(此为奇函数)或关于y轴对称(此为偶函数)。显然,法则(1),(2)与法则(3)是等价的。也就是说,一个函数不满足这三条法则中的任何一条,它是非奇非偶函数;如果函数f(x)满足了法则(1),(2)或者满足法则(3),则可判定它的奇偶性。 因此,就奇偶性而言函数可以分为四类:①奇函数;②偶函数;③既是奇函数又是偶函数;④非奇非偶函数。 设f(x)是奇函
4、数,如果当x>0时,,则 (证明从略,类似情况略)。 设f(x)是奇函数,如果当x>0时,f(x)是增函数,则当x<0时,f(x)仍然是增函数(证明从略,类似情况略)。 例5.判定函数的奇偶性。 解:函数的定义域满足,即为,函数的图象表示两个点:(-1,0),(1,0)。其图象既关于原点对称,又关于y轴对称。从而函数f(x)既是奇函数又是偶函数。
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