高考数学复习点拨 函数奇偶性的正判与错判

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1、函数奇偶性的正判与错判一、函数的奇偶性的判定函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法．1．定义域判定法例1．判定的奇偶性．解：要使函数有意义，须，解得，定义域不关于原点对称，原函数是非奇非偶函数．评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数具有奇偶性．2．定义判定法例2．判断的奇偶性．解：函数的定义域为，且　，函数是偶函数．评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性．3．等价形式判定法例3．判定的奇偶性．解：的定义域为，关于原点对称，当时，，图象过原点．又时

2、，，．又，为奇函数．评注：常用等价变形形式有：若或，则为奇函数；若或，则为偶函数（其中）．4．性质判定法例4．若，是奇函数，是偶函数，试判定的奇偶性．解：在的公共定义域内，任取一个，则，分别是奇函数和偶函数，，．．在上为奇函数．评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；②两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．二、判断函数奇偶性易错点初学函数奇偶性的同学，在利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性时，常会由于基础知识掌握不牢，产生以下几种错误．1.错

3、用定义例5．判断函数的奇偶性．错解：当时，；当时，，当时，函数是偶函数．当时，函数是奇函数．剖析：函数的奇偶性在关于原点对称的定义域内是一致的，不能把定义域分割开来，“当时，函数是偶函数；当时，函数是奇函数”这种说法本身就是错误的．正解：当时，，；当时，，．故函数既不是奇函数也不是偶函数．2.对函数本质认识不透例6．判断函数的奇偶性．错解：，，且．故此函数是偶函数，但不是奇函数．剖析：表面上看，以上结论似乎无懈可击，便考虑到函数的定义域是，值域是，故函数的解析式可简化为，．正解：，，，且．故此函数既是奇函数又是偶函数．3．忽视定义域导致错误

4、例7．判断的奇偶性.错解:∵,∴是偶函数.例8.判断的奇偶性.错解:∵∴是偶函数.剖析：奇偶函数定义中隐含着一个重要条件：有奇偶性的函数的定义域D必是一个关于原点对称的区间，也即如果一个函数的定义域关于原点不对称，则这个函数无奇偶性。例7的定义域为，例8的定义域为，均关于原点不对称。因此，例7、例8的正确答案应为：非奇非偶函数.4．忽视对参数的讨论导致错误例9.设m为实数,函数试讨论的奇偶性.错解:∵∴,函数既不是奇函数,也不是偶函数.剖析：例9的错误在于忽视了对参数m的讨论,事实上,当m=0时,函数.此时是偶函数.这种情况也应该考虑.5.

5、顾此失彼例10．判断函数的奇偶性．错解：当时，；当时，．函数是奇函数．剖析：尽管对于定义域内的每一个，都有成立，但当时，，函数既不是奇函数也不是偶函数．此外，应特别注意，若函数是奇函数，则对定义域内的每一个，都有，特别当属于定义域时，有，所以．因此，一般地，有以下结论：奇函数要么在处没有定义，要么在处的函数值为0，即．在例3中如果能去掉函数在处的定义（或在处定义），那么这个函数就是奇函数了．