高中数学 圆 板块五 圆的规划问题完整讲义（学生版）

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1、学而思高中完整讲义：圆.板块五.圆的规划问题.学生版典例分析【例1】如果实数、满足，则的最大值为（）A．B．C．D．【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】等式有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，圆心为，半径，（如图），而则表示圆上的点与坐标原点的连线的斜率．如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点在以为圆心，以为半径的圆上移动，求直线的斜率的最大值，由图可见，当在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，经简单计算，得最大值为【答案】D；【例2】若集合，集合且，则的取值范围为______________．【考点】圆的

2、规划问题【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】，显然，表示以为圆心，以3为半径的圆在轴上方的部分，（如图），而则表示一条直线，其斜率，纵截距为，由图形易知，欲使，即是使直线与半圆有公共点，显然的最小逼近值为，最大值为，即【答案】【例1】试求圆（为参数）上的点到点距离的最大（小）值．【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】分析利用两点间距离公式求解或数形结合求解．解法一设是圆上任一点，则．所以．因为，所以，因此当时，．当时，．解法二将圆代入普通方程得．如图所示可得，、分别是圆上的点到的距离的最小值和最大值．易知：，．

3、说明⑴在圆的参数方程（为参数）中，为圆心，为半径，参数的几何意义是：圆的半径从轴正向绕圆心按逆时针方向旋转到所得圆心角的大小．若原点为圆心，常常用来表示半径为的圆上的任一点．⑵圆的参数方程也是解决某些代数问题的一个重要工具．【答案】最大值为，最小值为．【例1】已知，，点在圆上运动，则的最小值是．【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】设，则．设圆心为，则，∴的最小值为．【答案】．【例2】已知圆，为圆上任一点，求的最大、最小值，求的最大、最小值．【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】方法一由知，可

4、设的坐标为，是参数．则，令，得，．所以，．即的最大值为，最小值为．此时．所以的最大值为，最小值为．方法二表示点与点连线的斜率，其中点为圆上的动点，结合图象知，要求斜率的最值，只须求出过点的圆的切线的斜率即可，设过点的直线方程为：．由，得，所以的最大值为，最小值为．令，同理两条切线在轴上的截距分别是的最大、最小值．由，得．所以的最大值为，最小值为．【答案】最大值为，最小值为．【例1】求函数的值域．【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】，于是，其几何意义为单位圆上的任一点与点的连线的斜率．结合图象知：过点与单位圆相切的直线

5、的斜率为，，连线的斜率的取值范围为，从而此函数的值域为．【答案】【例2】设，，求的最小值．【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】分析式子的几何意义，它表示两点与的距离的平方，前者在半圆上，后者在直线上，结合简图知：半圆上的点到该直线的距离的最小值为，从而所求的最小值为．【答案】【例3】实数满足，求的最大值与最小值．【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】方法一变形得：，此方程表示一条直线．又∵满足，故直线与圆有公共点．故，解得．由于直线与圆无公共点，因此，为所求．即的最大值为，最小值为．方法二设

6、，，则，①几何意义为单位圆上的点与点连线的斜率，求过点的单位圆切线的斜率：，，从而的最大值为，最小值为．②由此式得，从而，解得，因此的最大值为，最小值为．【答案】最大值为，最小值为．【例1】已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值．【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】方法一由圆的标准方程．可设点的坐标为（是参数）．则（其中）．所以，．方法二是圆上点到原点距离的平方，∴要求的最值，即求圆上距离原点距离最远和最近的点．结合图象知：距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径，距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径．所以，．【

7、答案】最大值为，最小值为．【例1】若，求函数的最小值．【考点】圆的规划问题【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】，先求点与直线的距离为，．【答案】．【例2】设点是圆是任一点，求的取值范围．【考点】圆的规划问题【难度】2星【题型】解答【关键字】无【解析】方法一设，则有，，∴，∴∴．即（）∴．又∵∴解之得：．方法二根据几何意义求解的几何意义是过圆上一动点和定点的连线的斜率，利用此直线与圆有公共点，可确定出的取值范围．由得：，此直线与圆有公共点，故点到直线的距离．∴，解得：．另外，直线与圆的公共点还可以这样来处理：由消去后得：，此方程有实根，故

8、，解之得：．【答案】．【例1】已知对于圆上任一点，不等式恒成立，求实数的取值范围．【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】方法