高中数学 圆 板块七 直线和圆的综合问题完整讲义（学生版）

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1、学而思高中完整讲义：圆.板块七.直线和圆的综合问题.学生版典例分析【例1】如图，在平面直角坐标系中，是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点、的定圆所围成的区域（含边界），、、、是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称优于．如果中的点满足：不存在中的其它点优于，那么所有这样的点组成的集合是劣弧（　　　）A．　　　　　　　B．C．D．【例2】求半径为，与圆相切，且和直线相切的圆的方程．【例3】据气象台预报：在城正东方的海面处有一台风中心，正以每小时的速度向西北方向移动，在距台风中心以内的地区将受其影响．从现在起经过约，台风将影响城，持续时间约为．（结果精确到）【例4】有一种大型商品，、两地

2、都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离地的运费是地的运费的倍．已知、两地距离为千米，顾客选择地或地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求、两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．【例5】设有半径为的圆形村落，、两人同时从村落中心出发，向北直行，先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与相遇．设、两人速度一定，其速度比为，问两人在何处相遇？【例1】已知：过点斜率为的直线与⊙：相交与、两点．⑴求实数的取值范围；⑵求证：为定值；⑶若为坐标原点，且，求的值．轨迹问题

3、【例2】已知定点，点在圆上运动，是线段上的一点，且，则点的轨迹方程是．【例3】设为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值，求点的轨迹．【例4】由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，，则动点的轨迹方程是．【例5】如图，圆与圆的圆心都在轴上，半径都是，，且两圆关于轴对称，过动点分别作圆、圆的切线、，、分别为切点，且，试求动点的轨迹方程．【例6】已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的面积等于（）A．B．C．D．【例7】已知点，动点到、的距离之比为，求⑴点的轨迹方程．⑵点在什么位置时，的面积最大，并求出最大面积．【例1】如图所示，已知圆与轴的正方向交于点，点在直线上运动，过做圆的切

4、线，切点为，求垂心的轨迹．【例2】从抛物线的顶点引两条互相垂直的弦、，作．则点的轨迹方程为．【例3】直线与圆相交于两个不同点，当取不同实数值时，求中点的轨迹方程．【例4】已知直线与圆相交于、两点，以、为邻边作平行四边形，求点的轨迹方程．【例5】已知圆的方程为，圆内有定点，圆周上有两个动点、，使，求矩形的顶点的轨迹方程．直线系与圆系【例1】已知圆，直线，下面四个命题：①对任意实数与，直线和圆相切；②对任意实数与，直线和圆有公共点；③对任意实数，必存在实数，使得直线与和圆相切；④对任意实数，必存在实数，使得直线与和圆相切．其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）

5、【例2】设直线系，对于下列四个命题：A．中所有直线均经过一个定点B．存在定点不在中的任一条直线上C．对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上D．中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．【例3】设有一组圆．下列四个命题：Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交Ｄ．所有的圆均不经过原点其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）