高中数学 2.5 简单的幂函数名师考点精讲 北师大版必修1

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1、（同步课堂）2013-2014学年高中数学2.5简单的幂函数名师考点精讲北师大版必修1[读教材·填要点]1．幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．[提醒]　在中学时段只要求关注α＝－1，，1，2，3，共5种幂函数的性质．2．函数的奇偶性(1)奇函数：一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数，在奇函数f(x)中，f(x)和f(－x)的绝对值相等，符号相反，即f(－x)＝－f(x)；反之，满足f(－x)＝－f(x)的函数y＝f(x)一定是奇函数．(2)偶函

2、数：一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数，在偶函数f(x)中，f(x)和f(－x)的值相等，即f(－x)＝f(x)；反之，满足f(－x)＝f(x)的函数y＝f(x)一定是偶函数．(3)奇偶性：当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性．[小问题·大思维]1．具有奇偶性的函数其定义域有何特点？提示：具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称，由奇函数的定义可知f(－x)＝－f(x)，故变量x，－x均在定义域中，同理，对于偶函数，由f(－x)＝f(x)可知，－x，x也均在定义域内．2．既是奇函数，又

3、是偶函数的函数不存在，对吗？提示：不对．如函数y＝0(x∈R)，其图像既关于原点对称，又关于y轴对称，所以函数y＝0(x∈R)既是奇函数又是偶函数．3．定义在R上的奇函数f(x)，f(0)的值是多少？提示：f(0)＝0.[研一题][例1]　已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时为减函数．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)用描点法作出f(x)的图像；(3)给出y＝f(x)的单调区间及其值域，并判断其奇偶性．[自主解答]　(1)∵f(x)＝(m2－m－1)xm2－2

4、m－3为幂函数，∴m2－m－1＝1，解之得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝x0＝1(x≠0)，易知不符合题意．当m＝2时．f(x)＝x－3(x≠0)，易知在(0，＋∞)上为减函数．∴f(x)＝x－3(x≠0)；(2)列表：x…－2－1－012…y…－－1－8不存在81…作图：(3)由(2)可知f(x)的单调减区间为(0，＋∞)及(－∞，0)，f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x)为奇函数．[悟一法](1)幂函数y＝xα要满足三个特征：①幂xα的系数为1；②底数只能是自变量x，指数

5、是常数；③项数只有一项．只有满足这三个特征，才是幂函数．(2)幂函数的图像可用描点法得到，其性质可由图像得到．[通一类]1．(1)若函数f(x)既是幂函数又是反比例函数，则f(x)＝________．(2)已知幂函数y＝f(x)的图像过点(2，4)，则f(－1)＝________．解析：(1)∵f(x)为反比例函数，∴设f(x)＝＝k·x－1(k≠0)．又∵f(x)为幂函数，∴k＝1，∴f(x)＝x－1.(2)设y＝xα，把点(2，4)代入得4＝2α，∴α＝2，∴解析式为y＝x2，∴f(－1)＝(－1)

6、2＝1.答案：(1)x－1　(2)1[研一题][例2]　判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝(x－1)·；(3)f(x)＝＋；(4)f(x)＝[自主解答]　(1)∵函数的定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数；(2)∵定义域为{x

7、x＞1或x≤－1}，定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；(3)∵定义域为{－2，2}，任取x∈{－2，2}，则－x∈{－2，2}．f(－x)＝0＝f(x)＝－f(x)，∴f(x)既是奇

8、函数又是偶函数；(4)法一：可知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，①设x>0，则－x<0，f(－x)＝－(－x)2－1＝－(x2＋1)＝－f(x)，②设x<0，则－x>0，f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．法二：作出函数f(x)的图像，如图，由图像可知，f(x)的图像关于原点对称，∴f(x)为奇函数．[悟一法]判断函数的奇偶性常用的方法：(1)定义法：若定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若关于原点对称，则进一步判断f(－x)与f(x)的

9、关系，注意当解析式中含有参数时，要对参数进行分类讨论．(2)图像法：若函数图像关于原点对称，则此函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称，则此函数为偶函数．[通一类]2．判断下列函数是奇函数还是偶函数．(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x3－2x；(3)f(x)＝

10、x＋1

11、－

12、x－1

13、；(4)f(x)＝解：(1)函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．又∵f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)＝是偶函数；(2)定义域为R，关于原点对称，又f(