高中数学 2.1 生活中的变量关系名师考点精讲 北师大版必修1

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1、（同步课堂）2013-2014学年高中数学2.1生活中的变量关系名师考点精讲北师大版必修1[读教材·填要点]1．依赖关系和函数关系在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．如果变量x，y具有依赖关系，对于其中一个变量x的每一个值，另一个变量y都有唯一确定的值时，那么称变量y是变量x的函数，即这两个变量之间具有函数关系．2．非依赖关系在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不受任何影响，那么就称这两个变量具有非依赖关系．[小问题·大思

2、维]1．人的身高和年龄之间的关系是函数关系吗？提示：人的身高和年龄之间有一定的依赖关系，但这种关系并不是函数关系，因人的身高并不单纯由人的年龄而定，还受环境、饮食等条件的影响．2．两个具有依赖关系的变量一定具有函数关系吗？提示：不一定．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间有函数关系．[研一题][例1]　下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？①球的体积和它的半径；②速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；③家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势；④正三角形的面积和它的边长．[自

3、主解答]　①中球的体积V与半径r间存在V＝πr3的关系；②中在速度不变的情况下，行驶路程S与行驶时间t之间存在正比例关系；③中家庭收入与其消费支出间存在关系，但具有不确定性；④中正三角形的面积S与其边长a间存在S＝a2的关系．综上可知①②③④中两个变量间都存在依赖关系，其中①②④是函数关系．[悟一法]判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，是否会导致另一个变量随之变化．而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系，关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性，即考察对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应．[通一类

4、]1．下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；(2)家庭的食品支出与电视价格之间的关系；(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系．解：(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数定义知，二者之间是函数关系；(2)家庭的食品支出与电视价格之间没有依赖关系；(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且具有确定性，是函数关系．综上可知，(1)(

5、3)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中两个变量不存在依赖关系．[研一题][例2]　如图所示为某市一天24小时内的气温变化图．(1)上午8时的气温是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？(2)大约在什么时刻，气温为0°C?(3)大约在什么时刻内，气温在0°C以上？两个变量有什么特点，它们具有怎样的对应关系？[自主解答]　(1)上午8时气温是0°C，全天最高气温大约是9°C，在14时达到，全天最低气温大约是－2°C，在4时达到；(2)大约在8时和22时，气温为0°C；(3)在8时到22时之间，气温在0°C以上，变量0≤t≤24，变量－

6、2≤θ≤9，由于图像是连续的，可知它们之间具有随着时间的增加，气温先降再升再降的变化趋势，所以θ与t具有依赖关系，也具有函数关系．[悟一法]对于这类问题，求解的关键是充分利用图像所反映的关系使其与生活中两个变量之间的变化情况相吻合，以达到用图的目的．[通一类]2．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，晚上体温渐渐下降直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是(　　)解析：从亮亮的体温变化，可以看出图像应为：早晨37

7、°C以上37°C(中午)37°C以上37°C(半夜)，结合图像知，只有C项符合．答案：C[研一题][例3]　口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染，为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过实验，测定了不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如下表所示的一组数据：次序项目　　12345678温度(°C)1525303537404550黏附力(N)2.03.13.33.64.64.02.51.4(1)请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图像；(2)根据上述数据以及得到的图像，你能

8、得到怎样的实验结论呢？[自主解答]　(1)(2)实验结论：①随着温度的升高，口香糖的黏附力先增大后减小；②当温度在37°C时，口香糖的黏附力最大．[悟一法]对于这类