高一数学 2.9函数的应用举例（第一课时） 大纲人教版必修

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1、§2.9函数的应用举例课时安排3课时从容说课（1）本小节的内容为有关几何、增长率和物理方面的例题。（2）本小节的目的是通过例题培养学生应用数学的意识以及分析问题、解决问题的能力。（3）本小节的重点和难点是数学模型的建立。（4）本小节在教材中的地位：掌握本章所学内容是学好本小节的前提。通过本小节的学习，能使学生进一步加深对函数概念、指数函数概念及其性质、对数函数概念及其性质的认识，并体会到数学知识在生产生活实际各个方面的应用，增强学生学习数学的兴趣，提高数学应用能力。（5）本小节重难点的处理：为了使学生更好地建立数学模型，一方面要求学生注意熟悉相关的

2、实际背景，另一方面要求学生总结整理常用的数学模型。同时，不能忽视归纳思想的应用，通过从具体到一般，发现函数的变化规律是建立数学模型的一种有效方法。必要情况下，对学生生疏的实际背景，如物理方面的知识，应适当予以复习或补充。（6）教学中的注意事项：①要求学生在建立数学模型时，若有困难则可以尝试由简单、具体的情形入手从而发现一般规律；②要求学生掌握用计算器进行必要的运算。第一课时●课题§2.9.1函数的应用举例（一）●教学目标（一）教学知识点1.数学模型.2.数学建模.3.数学应用题的能力要求.4.解答应用题的基本步骤.（二）能力训练要求1.了解数学建模

3、.2.掌握根据已知条件建立函数关系式.3.培养学生分析问题、解决问题的能力.4.培养学生应用数学的意识.（三）德育渗透目标1.认识事物之间的相互联系.2.了解数学在实际中的应用.●教学重点根据已知条件建立函数关系式●教学难点数学建模意识●教学方法读议讲练法首先要求学生通过阅读课本来了解数学模型的概念及数学建模的思想方法，然后通过讨论与学生一起分析得出数学应用题的解决应达到哪些能力要求，再通过讲解例题与大家一起总结解答应用题的基本步骤，最后通过相应的课堂练习使学生巩固对数学应用题的认识，同时加强对相关知识点的熟悉程度.●教具准备幻灯片三张第一张：例1

4、（记作§2.9.1A）第二张：例2（记作§2.9.1B）第三张：数学应用题能力要求及解答步骤（记作§2.9.1C）●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］前面，我们已经学习了函数的概念、函数的性质以及指数函数和对数函数，并要求大家在课前对本章作系统地归纳整理，接下来，用已学过的知识举例说明函数的应用.Ⅱ.讲授新课［师］大家首先阅读课本P91～P92，来了解一下数学建模的有关知识.1.数学模型与数学建模简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型方法，是把实际问题加以抽象概

5、括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.2.例题讲解［例1］用长为m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x，求此框架的面积y与x的函数式，并写出它的定义域.分析：所求框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确，而且题中已设出变量，所以属于函数关系的简单应用.解：如上图，设AB=2x，则CD弧长=πx,于是AD=因此y=2x·+,即y=－x2+mx再由,解之得0＜x＜,即函数式是y=－·x2+mx定义域是：（0，）评述：此题虽为函数关系的简单应用，但应让学生通过此题明确应用题的能力要求及求解应用

6、题的基本步骤.（1）数学应用题的能力要求①阅读理解能力；②抽象概括能力；③数学语言的运用能力；④分析、解决数学问题的能力；（2）解答应用题的基本步骤①合理、恰当假设；②抽象概括数量关系，并能用数学语言表示；③分析、解决数学问题；④数学问题的解向实际问题的还原.［师］有了上述说明，我们在看例2时就应有所注意.［例2］如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数式，并求出它的定义域.分析：要用腰长表示周长的关系式，应该知道等腰梯形各边的长，下

7、底长已知为2R，两腰长为2x,因此，只须用已知量（半径R）和腰长x把上底表示出来，即可写出周长y与腰长x的函数式.解：如图所示，AB=2R，C、D在⊙O的半圆周上设腰长AD=BC=x，作DE⊥AB，垂足为E，连结BD，那么∠ADB直角，由此Rt△ADE∽Rt△ABD.∴AD2=AE·AB，即AE=∴CD=AB－2AE=2R－∴y=2R+2x+(2R－)即y=－+2x+4R再由,解得0＜x＜∴周长y与腰长x的函数式为：y=－(x2+2x+4R),定义域为：（0，）评述：例2是实际应用问题.解题过程是从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数

8、关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答，这个过程实际上就是建立数学模型的一种最简单的情形.Ⅲ.课堂练习课本P89练习