高一数学 5.6平面向量的数量积及运算律（第二课时） 大纲人教版必修

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1、●课题§5.6.2平面向量的数量积及运算律(二)●教学目标(一)知识目标平面向量数量积及运算律的应用.(二)能力目标1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.●教学重点平面向量数量积及运算规律.●教学难点平面向量数量积的应用.●教学方法启发引导式启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.●教具准备

2、投影仪、幻灯片第一张：数量积定义、性质、运算律(记作§5.6.2A)第二张：本节例题(记作§5.6.2B)●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］上一节，我们一起学习向量数量积的定义，并一起由定义推证了5个重要性质，并得到了三个运算律，首先我们对上述内容作一简要回顾.(给出幻灯片§5.6.2A)这一节，我们通过例题分析使大家进一步熟悉数量积的定义、性质、运算律，并掌握它们的应用.Ⅱ.讲授新课［师］下面我们来看例题.(给出幻灯片§5.6.2B)［例1］已知：｜a｜＝3，｜b｜＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°

3、时，分别求a·b.分析：由数量积的定义可知，它的值是两向量的模与它们夹角余弦值的乘积，只要能求出它们的夹角，就可求出a·b.解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角＝0°，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角＝180°，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos180°＝3×6×(－1)＝－18；②当a⊥b时，它们的夹角＝90°，∴a·b＝0；③当a与b的夹角是60°时，有a·b＝｜a｜｜b｜cos60°＝3×6×＝9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180

4、°］，因此，当a∥b时，有0°或180°两种可能.［例2］已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.分析：要求a与b的夹角，只要求出a·b与｜a｜，｜b｜即可.解：由已知(a＋3b)⊥(7a－5b)(a＋3b)·(7a－5b)＝07a2＋16a·b－15b2＝0①又(a－4b)⊥(7a－2b)(a－4b)·(7a－2b)＝07a2－30a·b＋8b2＝0②①－②得：46a·b＝23b2即有a·b＝b2＝｜b｜2，将它代入①可得：7｜a｜2＋8｜b｜2－15｜b

5、｜2＝0即｜a｜2＝｜b｜2有｜a｜＝｜b｜∴若记a与b的夹角为，则cos＝＝＝又∈［0°，180°］，∴＝60°所以a与b的夹角为60°.［例3］四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解：四边形ABCD是矩形，这是因为：一方面：∵a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2即｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝｜c｜2＋2c·d＋｜d｜2由于a

6、·b＝c·d，∴｜a｜2＋｜b｜2＝｜c｜2＋｜d｜2①同理有｜a｜2＋｜d｜2＝｜c｜2＋｜b｜2②由①②可得｜a｜＝｜c｜，且｜b｜＝｜d｜即四边形ABCD两组对边分别相等.∴四边形ABCD是平行四边形另一方面，由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0，而由平行四边形ABCD可得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝0即a·b＝0，∴a⊥b也即AB⊥BC.综上所述，四边形ABCD是矩形.评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即a＋b＋c＋d＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知

7、条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.Ⅲ.课堂练习课本P119练习4.Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题.Ⅴ.课后作业(一)课本P119习题5.66，7，8(二)1.预习内容课本P119～P1202.预习提纲(1)平面向量的数量积的坐标表示.(2)向量垂直的坐标表示是什么?●板书设计§5.6.2平面向量的数量积及运算律(二)平面向量数量积有哪些应用①判断线段垂直②判断三

8、角形、四边形形状