高一数学 5.6平面向量的数量积及运算律（第一课时） 大纲人教版必修

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1、●课题§5.6.1平面向量的数量积及运算律(一)●教学目标(一)知识目标1.平面向量数量积的定义及几何意义；2.平面向量数量积的5个重要性质；3.平面向量数量积的运算律.(二)能力目标1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.●教学重点平面向量的数量积定义.●教学难点平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用.●教学方法启发引导式本节学习的关键是启发学生理解平

2、面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.●教具准备投影仪、幻灯片第一张：数量积的运算律(记作§5.6.1A)第二张：例题(记作§5.6.1B)●教学过程Ⅰ.课题引入［师］在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算：W＝｜F｜·｜s｜cos其中是F与s的夹角.从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念.Ⅱ.讲授新课［师］我们首先来学习两向量的夹角.1.两个非零向量夹

3、角的概念已知非零向量a与b，作＝a，＝b，则∠AOB＝(0≤≤)叫a与b的夹角.说明：(1)当＝0时，a与b同向；(2)当＝时，a与b反向；(3)当＝时，a与b垂直，记a⊥b；(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.2.数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角是，则数量｜a｜｜b｜cos叫a与b的数量积，记作a·b，即有a·b＝｜a｜｜b｜cos(0≤≤).说明：(1)零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0；(2)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代

4、替.3.数量积的几何意义两个向量的数量积等于其中一个向量的长度与另一个向量在其上的投影值的乘积.说明：这个投影值可正可负也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.4.数量积的重要性质设a与b都是非零向量，e是单位向量，0是a与e夹角，是a与b夹角.①e·a＝a·e＝｜a｜cos0②a⊥ba·b＝0③当a与b同向时，a·b＝｜a｜｜b｜当a与b反向时，a·b＝－｜a｜｜b｜特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝④cos＝⑤｜a·b｜≤｜a｜｜b｜说明：上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推

5、证.5.数量积的运算律已知a，b，c和实数，则向量的数量积满足下列运算律：①a·b＝b·a(交换律)②(a)·b＝(a·b)＝a·(b)(数乘结合律)③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)说明：(1)一般地，(a·b)c≠a(b·c)(2)a·c＝b·c，c≠0a＝b(3)有如下常用性质：a2＝｜a｜2，(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2［师］为使大家进一步熟悉数量积的性质，加深对数量积定义的理解，我们来看下面的例题.［例题］判断正误，并

6、简要说明理由.①a·0＝0；②0·a＝0；③0－＝；④｜a·b｜＝｜a｜｜b｜；⑤若a≠0，则对任一非零b有a·b≠0；⑥a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；⑦对任意向量a，b，c都有(a·b)c＝a(b·c)；⑧a与b是两个单位向量，则a2＝b2.分析：根据数量积的定义、性质、运算律，逐一判断.解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a＝0；对于②：应有0·a＝0；对于④：由数量积定义有｜a·b｜＝｜a｜｜b｜·｜cos｜≤｜a｜｜b｜，这里是a与b的夹角

7、，只有＝0或＝时，才有｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜；对于⑤：若非零向量a、b垂直，有a·b＝0；对于⑥：由a·b＝0可知a⊥b可以都非零；对于⑦：若a与c共线，记a＝c.则a·b＝(c)·b＝(c·b)＝(b·c)，∴(a·b)c＝(b·c)c＝(b·c)c＝(b·c)a若a与c不共线，则(a·b)c≠(b·c)a.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.Ⅲ.课堂练习课本P119练习1，2，3Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算

8、律，并能运用它们解决相关的问题.Ⅴ.课后作业(一)课本P119习题5.61，2，3，4(二)1.预习内容课本P118～P1192.预习提纲(1)向量的数量积不满足哪些运算律?(2)向量的数量积有哪些应用?(3)复习数量积定义、性质、运算律.●板书设计§5.6.1向量的数量积及运算律(二)1.向量数量积定义a·b=

9、a

10、

11、b

12、cos为a、b的夹角2.5个性质①e·a=a·e=

13、a

14、cos②a⊥ba·b=0③a∥b

15、a·b

16、=

17、a

18、

19、b

20、④cos=⑤

21、a·b

22、≤

23、a

24、

25、b

26、3.运算律①a·b=b·a