高一数学 5.7平面向量数量积的坐标表示（备课资料） 大纲人教版必修

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1、●备课资料1.在△ABC中，＝(1，1)，＝(2，k)，若△ABC中有一个角为直角，求实数k的值.解：若A＝90°，则·＝0，∴1×2＋1×k＝0，即k＝－2若B＝90°，则·＝0，又＝－＝(2，k)－(1，1)＝(1，k－1)即得：1＋(k－1)＝0，∴k＝0若C＝90°，则·＝0，即2＋k(k－1)＝0，而k2－k＋2＝0无实根，所以不存在实数k使C＝90°综上所述，k=－2或k=0时，△ABC内有一内角是直角.评述：本题条件中无明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论.讨论要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性.2.已知：O为原点，A(a，0)，B(0，a)，

2、a为正常数，点P在线段AB上，且＝t(0≤t≤1)，则·的最大值是多少?解：设P(x，y)，则＝(x－a，y)，＝(－a，a)，由＝t可有：，解得∴＝(a－at，at)，又＝(a，0)，∴·＝a2－a2t∵a＞0，可得－a2＜0，又0≤t≤1，∴当t＝0时，·＝a2－a2t，有最大值a2.3.判断两向量的垂直若a、b是非零向量，则a⊥ba·b=0.［例1］已知｜a｜=3，｜b｜=2，a，b夹角为60°，m为何值时两向量3a+5b与ma－3b互相垂直？解法一：(3a+5b)·(ma－3b)=3m｜a｜2－9a·b+5ma·b－15｜b｜2=27m+(5m－9)×3×2cos

3、60°－15×4=42m－87=0∴m=时，(3a+5b)⊥(ma－3b).解法二：如图建立直角坐标系，则a=(3，0)，b=(1，)，∴3a+5b=(14，5)，ma－3b=(3m－3，－3).∵(3a+5b)⊥(ma－3b)，∴(3a+5b)·(ma－3b).=14×3(m－1)+5×(－3)=0∴m=时两向量垂直.4.计算向量的长度或平面上两点间距离.由数量积的定义，知：a·a=｜a｜｜a｜cos0°=｜a｜2，∴｜a｜===，｜｜==.［例2］已知｜a｜=6，｜b｜=4，a，b夹角为60°，求｜a+b｜、｜a－3b｜.解法一：｜a+b｜==｜a－3b｜==解法二：

4、利用加减法的几何意义如下图，在四边形ABCD中，｜｜=6，｜｜=4，∠OAB=120°，则｜a+b｜=｜｜==2如下图，｜a－3b｜=｜｜=.解法三：如下图，建立直角坐标系.则a=(6，0)，b=(2，2)，∴a+b=(8，2)，a－3b=(0，－6)，∴｜a+b｜=，｜a－3b｜=.5.错解分析［例1］已知｜a｜=1，｜b｜=1，｜c｜=，a与b的夹角为90°，c与a的夹角为45°，c与b的夹角为45°，则a(b·c)为()A.0B.aC.bD.c误解：a(b·c)=(a·b)c=(｜a｜｜b｜cos90°)c=(1×1×0)c=0·c=0，故选A.剖析：向量的数量积不

5、满足结合律.事实上，a(b·c)=a(｜b｜｜c｜cos45°)=a(1××)=a·1=a，故选B.6.数量积应用常见题型：(一)直接计算数量积此题型重在考查数量积定义式、应注意两向量夹角同起点以便正确确定.(二)由数量积确定两向量夹角可由＜a，b＞表示a与b夹角，但应注意＜，＞与＜，＞关系为互补角.若已知模及数量积求夹角则用公式cos=.若已知坐标求角则用公式.cos(其中a=(x1，y1)，b=(x2，y2))(三)已知三角形各顶点坐标判定三角形形状.通常应用公式cos=其中a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(四)数量积运算律应用：此类题常以命题判断形式出现，如判

6、断(a·b)·c=a·(b·c)是否正确，其次简化数量积运算.(五)运用距离公式解决有关综合问题.(六)用于判定a⊥b.a⊥b＜a，b＞=a·b=0x1·x2+y1·y2=0.