高考立体几何试题的向量解法 专题辅导

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1、高考立体几何试题的向量解法于真灵用向量处理立体几何的空间问题，为立体几何的学习提供了简洁的语言系统和代数化的推理方式，减少了琐碎的解题技巧，体现了现代数学的思想方法。本文用向量解答近年来的高考立体几何题。例1.（1997年全国高考试题）在正方体中，E、F分别是、CD的中点（I）证明；（II）求AE与所成角；（III）证明面AED⊥面A1FD。图1解：（I）证明如图1所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），D（0，0，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），F（0，1，0），E（2，2，1）。因为所以，即（II）又由所以，即（III）因为，，，则平面AD

2、E的向量平面的法向量由于所以，即平面例2.（1998年全国高考试题）如图2所示，已知斜三棱柱的侧面与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=，且，。图2（I）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（II）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（III）求顶点C到侧面A1ABB1的距离。解：（I）如图2所示，建立空间直角坐标系，易知z轴在平面ACC1A1内，过A1、B分别作AC的垂线，垂足为D、E，在Rt△AA1C中，。在Rt△ABC中，，所以有A（0，0，0），，C，底面ABC的法向量设向量与的夹角为α则即α=45°，因而侧棱AA1与底面ABC所成的角为。（II）

3、侧面AA1BB1的法向量设侧面与底面ABC所成的角为β，则即β=60°，因而侧面AA1BB1与底面ABC所成的角为60°。（III）略例3.（1998年上海市高考试题）直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高为6，底面是边长为4，∠DAB=60°的菱形，AC与BD相交于O，A1C1与B1D1相交于O1，E是O1A的中点。（1）求二面角的大小（用反三角函数表示）；（2）分别以射线OA、OB、OO1为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，求点B1、D1、E的坐标，并求异面直线OB1与D1E所成角的大小（用反三角函数表示）图3解：（1）如图3所示，建立空间直角坐标系：知，，，，则平面O

4、1BC的法向量而平面BCD的法向量设向量与的夹角为，则所以即二面角的大小为（2），，，所以，设向量与的夹角为α，则所以异面直线OB1和D1E所成的角为例4.（1999年上海市高考试题）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD//BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角，若AE⊥PD，E为垂足。（1）求证BE⊥PD；（2）求异面直线AE与CD所成角的大小（用反三角函数表示）图4解：（1）证明如图4所示，建立空间直角坐标系，则有，，，因为PA⊥平面ABCD，所以∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，为30°。在Rt△AD

5、E中，由于AD=2a，得过E作EF⊥AD于F在Rt△AFE中，得，所以。于是因此即所以BE⊥PD（2）由以上条件知设与的夹角为，则由得即AE与CD所成角的大小为例5.已知正四棱柱，，点E为CC1的中点，点F为BD1的中点，证明：EF为BD1与CC1的公垂线。解：建立以D为原点的空间直角坐标系，由题设知，，，，从而，，，于是，，则，，即EF为BD1与CC1的公垂线。由以上解法可以看出，利用向量处理立体几何问题可以避免综合法中的辅助证明，尤其对于线线、线面、面面的角更显其功效。从近年的高考试题可看出，线线成角是考查的重点内容，因为它是教材中用向量研究的最完整的部分。