第3章振动系统地运动微分方程的题目解

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1、实用标准文案习题题3-1图3-1复摆重P，对质心的回转半径为，质心距转动轴的距离为a，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。解:系统具有一个自由度，选复摆转角为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程其中得到复摆运动微分方程为或3-2均质半圆柱体，质心为C，与圆心O1的距离为e，柱体半径为R，质量为m，对质心的回转半径为，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。题3-2图解：系统具有一个自由度，选为广义坐标。半圆柱体在任意位置的动能为：用瞬心法求：故系

2、统具有理想约束，重力的元功为精彩文档实用标准文案应用动能定理的微分形式等式两边同除，，等式两边同除故微分方程为①若为小摆动，，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为要点及讨论（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图（b）所示。列写微分方程上述方程包含，，，，五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标之间的关系，所以运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力，，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不

3、出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。（2）本题也可用机械能守恒定律求解。系统的动能精彩文档实用标准文案选半圆柱体中心O1所在平面为零势面，系统的势能由两边对时间求导数，即可得到与式①相同的运动微分方程。3-3均质杆AB，长l，质量为m，沿光滑墙面滑下，如题3-3图所示。设水平面也为光滑的。列写该系统的运动微分方程。题3-3图解：系统具有一个自由度，选为广义坐标。系统在任一位置的动能为由瞬心法求质心的速度，，所以系统的主动力图为图（a）所示。重力的元功为由动能定理所以系统的运动微分方程为要点及讨论（1）平面运动刚体可用式计

4、算刚体动能，式中为刚体对瞬心的转动惯量，为质心与瞬心间的距离。在本题中质心的速度也可用式计算。其中精彩文档实用标准文案（2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移）、坐标原点、坐标正方向。广义坐标的选择一般不是唯一的，例如在本题中也可选杆与水平线的夹角为广义坐标，正方向如图（b）所示（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都根据广义坐标确定（包括大小与正方向）。如质心C的位移与速度，正方向应如图所示，大小分别为，系统的动能主动力的元功根据动能定理建立的方程为所以“—”号说明当取正值时为负，即反时针方向。（3）本题

5、也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。3-4如题3-4图所示，均质圆柱体质量为m，半径为r，沿倾斜角为的三角块作无滑动滚动，质量为M的三角块置于光滑的水平面上。列写该系统的运动微分方程。题3-4图解：系统具有两个自由度，选为广义坐标。系统具有理想约束，且在水平方向的外力为零，所以系统机械能守恒：精彩文档实用标准文案，水平方向动量守恒。整理后可分别列写两个方程①②式中①②为系统微分方程的首次积分，对时间求导后，即可得到系统运动微分方程。要点及讨论（1）在理想约束的情况下，动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系，直接给出了系统的速度（

6、或角速度）与位移（或角位移）之间的关系，对时间求导一次可得到系统的运动微分方程。（2）用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为：①分析系统受力，在理想约束的情况下只有主动力作功，所以一般在受力图上只画主动力。②建立广义坐标，确定其原点和正方向；分析系统运动，重点是分析速度（角速度），将速度（角速度）用广义速度表示。③计算系统在任意位置的动能，将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。④计算力的功，若用积分形式动能定理，则计算主动力在有限路程上的功，若用微分形式的动能定理，则计算力的元功。⑤应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。（3）在理想约束

7、、主动力又为势力的情况下，可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。（4）对于多自由度系统，如两个自由度系统，动能定理只给出一个方程，必须与其他定理，如动量定理或动量矩定理联合应用，才能得到另外一个方程。精彩文档实用标准文案3-5题3-5图所示为刚性建筑模型。刚性基础质量为m，刚性建筑的质量为M，对质心C的转动惯量为IC。两刚体在O处铰接并附有刚度系数为k1的扭转弹簧。其他参数如图示。设地基有水平运动z(t)，试建立系统微幅运动微分方程。图中。题3-5图解：应用牛顿矢量力学建立刚体运动的微分方程时，首先要画出每个刚体的受力图，如题3-5图(b

8、)、(c)所示。对于图(b)，建立刚体的水平运动微分方程为(1)对于图(c)：建立刚体在铅垂平面内的运动微分方程为(2)(3)(4)其中xC、yC及x均是对固定坐标系的坐标，同时