第3章 振动系统的运动微分方程题解

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1、...习题题3-1图3-1复摆重P，对质心的回转半径为，质心距转动轴的距离为a，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。解:系统具有一个自由度，选复摆转角为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程其中得到复摆运动微分方程为或3-2均质半圆柱体，质心为C，与圆心O1的距离为e，柱体半径为R，质量为m，对质心的回转半径为，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。题3-2图解：系统具有一个自由度，选为广义坐标。半圆柱体在任意位置的动能为：用瞬心法求：故系统具有理想约束，重力的元功为WORD格式整理

2、...应用动能定理的微分形式等式两边同除，，等式两边同除故微分方程为①若为小摆动，，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为要点及讨论（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图（b）所示。列写微分方程上述方程包含，，，，五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标之间的关系，所以运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力，，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。（2）本题也可用机械能守

3、恒定律求解。系统的动能WORD格式整理...选半圆柱体中心O1所在平面为零势面，系统的势能由两边对时间求导数，即可得到与式①相同的运动微分方程。3-3均质杆AB，长l，质量为m，沿光滑墙面滑下，如题3-3图所示。设水平面也为光滑的。列写该系统的运动微分方程。题3-3图解：系统具有一个自由度，选为广义坐标。系统在任一位置的动能为由瞬心法求质心的速度，，所以系统的主动力图为图（a）所示。重力的元功为由动能定理所以系统的运动微分方程为要点及讨论（1）平面运动刚体可用式计算刚体动能，式中为刚体对瞬心的转动惯量，为质心与瞬心间的距离。在本题中质心的速度也可用式计算。其中WORD格式整理.

4、..（2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移）、坐标原点、坐标正方向。广义坐标的选择一般不是唯一的，例如在本题中也可选杆与水平线的夹角为广义坐标，正方向如图（b）所示（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都根据广义坐标确定（包括大小与正方向）。如质心C的位移与速度，正方向应如图所示，大小分别为，系统的动能主动力的元功根据动能定理建立的方程为所以“—”号说明当取正值时为负，即反时针方向。（3）本题也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。3-4如题3-4图所示，均质圆柱体质量为m，半径为r，沿倾斜角为的三角块作无滑动滚动，质量为M的三角块置于光

5、滑的水平面上。列写该系统的运动微分方程。题3-4图解：系统具有两个自由度，选为广义坐标。系统具有理想约束，且在水平方向的外力为零，所以系统机械能守恒：WORD格式整理...，水平方向动量守恒。整理后可分别列写两个方程①②式中①②为系统微分方程的首次积分，对时间求导后，即可得到系统运动微分方程。要点及讨论（1）在理想约束的情况下，动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系，直接给出了系统的速度（或角速度）与位移（或角位移）之间的关系，对时间求导一次可得到系统的运动微分方程。（2）用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为：①分析系统受力，在理想约束的情况下只有主动力作功，所以一般在受

6、力图上只画主动力。②建立广义坐标，确定其原点和正方向；分析系统运动，重点是分析速度（角速度），将速度（角速度）用广义速度表示。③计算系统在任意位置的动能，将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。④计算力的功，若用积分形式动能定理，则计算主动力在有限路程上的功，若用微分形式的动能定理，则计算力的元功。⑤应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。（3）在理想约束、主动力又为势力的情况下，可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。（4）对于多自由度系统，如两个自由度系统，动能定理只给出一个方程，必须与其他定理，如动量定理或动量矩定理联合应用，才能得到另外一个方程。WORD格式整理...3

7、-5题3-5图所示为刚性建筑模型。刚性基础质量为m，刚性建筑的质量为M，对质心C的转动惯量为IC。两刚体在O处铰接并附有刚度系数为k1的扭转弹簧。其他参数如图示。设地基有水平运动z(t)，试建立系统微幅运动微分方程。图中。题3-5图解：应用牛顿矢量力学建立刚体运动的微分方程时，首先要画出每个刚体的受力图，如题3-5图(b)、(c)所示。对于图(b)，建立刚体的水平运动微分方程为(1)对于图(c)：建立刚体在铅垂平面内的运动微分方程为(2)(3)(4)其中xC、yC及x均是对固定坐标系的坐标，