第10章 质点的运动微分方程

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1、引言1、研究对象研究物体的机械运动与作用力之间的关系2、力学模型：1）质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。2）质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点组成的系统。3）刚体：一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离不变的质点组成。又称为不变质点系3、动力学的基本问题：第一类：已知物体的运动情况，求作用力；第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。综合性问题：①已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。②已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。第十章质点动力学的基本方程§10–1动力学的基本定律§10–2质点的运动微分方程§10-1动力学的

2、基本定律牛顿三定律第一定律（惯性定律）第二定律（力与加速度之间的关系定律）dvv(mv)=Fdtvvma=F质点动力学的基本方程质量是质点惯性的度量第三定律（作用与反作用定律）牛顿三定律牛顿运动三定律适用的参考系称为惯性参考系。今后，如无特别说明，我们取固定在地球表面的坐标系为惯性参考系；以牛顿三定律为基础的力学，称为古典力学（又称经典力学后牛顿力学），在此范畴，质量、空间和时间是“绝对”的，与运动没有关系，但近代物理已经证明，质量、时间和空间都与物体的运动速度有关，只是当物体的运动速度远小于光速时，物体的运动对质量、时间和空间的影响是微不足道的

3、。§10-2质点的运动微分方程2vvvdrvma=∑Fim2=∑Fidt2⎧dx⎧dv直⎪m2=∑Fxi自m=∑Fi角⎪dt然⎪dtτ⎪坐⎪⎪d2y坐2⎪⎪v标⎨m2=∑Fyi标⎨m=∑Fnidt投⎪投⎪ρ影⎪d2y⎪⎪影0=∑F式m2=∑Fzi⎪bi⎪⎩dt式⎪⎩求解质点动力学的两类问题:1、第一类：已知运动，求作用力2、第二类：已知作用力，求运动①选择研究对象；②受力分析，画受力图；③运动分析；④列质点运动微分方程；⑤求解未知量。例题10-1桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为v0，重物中心至悬挂点距离为L。突然刹车

4、，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。解：①选重物(抽象为质点)为研究对象②受力分析如图所示③运动分析，沿以O为圆心，L为半径的圆弧摆动。④列自然形式的质点运动微方程⎧dvGdv⎪m=∑Fτi=−Gsinϕ⎪dtgdt⎨v22⎪Gv⎪m=∑Fni=T−Gcosϕ⎩ρgl④列自然形式的质点运动微方程⑤求解未知量Gdv=−Gsinϕ重物作减速运动gdt2Gvcos2=T−GϕT=G(vgl+cosϕ)gl2当ϕ=0时，T由最大值Tmax=G(vgl+1)例题10-2半径为R的偏心轮绕O轴以匀角速度ω转动，推动导板沿直线轨道运动。导板顶部

5、有一质量为m的物块A。设偏心距为e，开始时OC水平。求（1）物块对导板的最大压力；（2）使物块不脱离导板的最大加速度ω值。ARωCO解：采用直角坐标，建立图示坐标系，则Fy=H+esinωtNAA物块Ａ的运动微分方程为mgym&y&=F−mgANA2即得：F=mg−meωsinωtNH当时sinωt=−1，F有最大值NR2ωCF=mg+meωNmaxOx2F=mg−meωsinωtNFN要使物块A不脱离导板，压力F≥0NA即：2mgF=mg−meωsinωt≥0yNA当时sinωt=1，F有最小值N2HF=mg−meω≥0NminggR解得：ω≤

6、ωmax=ωCeeOx例题10-3一物体质量m=10kg，在变力F=100（1-t）（F单位为N）作用下沿直线运动。设物体的初始速度为0.2m/s，开始时，力的方向与速度方向相同。问经过多少时间后物体的速度为零，此前走了多少路程。解：设物体开始运动的方向为x轴正方向，并且物体的初始位置为坐标原点，则有m&x&=∑Fix即：m&x&=100(1−t)2积分一次mx&=−50(1−t)+C1503积分二次mx=()1−t+Ct+C123初始条件：t=0时x&=0.2m/s；x=0C1=52C2=−503503mx=()1−t+C1t+C2C1=52C

7、2=−5033535x=()1−t+5.2t−物体的运动方程33()2v=−51−t+5.2物体运动的速度()2令v=−51−t+5.2=0得t=2.02S即t=2.02S时物体的速度为零。535此时x=()1−2.02+5.2×2.02−=7.07m33例题10-4质量m=5kg的小球，用长L=2m的绳子一端系于固定点O，小球以均匀速度v在水平面内0作圆周运动，（1）已知绳与铅垂线间的夹角θ=400，求绳中的拉力和球的速度v；（2）若绳中最大0允许拉力为100N，求小球的最大容许速度v和此时0绳与铅垂线间的夹角θ。θ2v2解：vm=∑Finm=

8、FTsinθLsinθρ0=∑Fib0=FTcosθ−mg2gLsinθmgv=F=Tcosθcosθ1）0θθ=40时Fv=3.25m