质点与刚体的运动微分方程

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1、第三篇动力学第三篇动力学返回在静力学中，我们研究了物体在力系作用下的平衡问题。在运动学中，我们仅从几何的角度研究物体的运动规律，而未涉及物体运动变化的原因。在动力学中，我们将研究物体运动的变化与其质量、作用于其上的力之间的关系。可见动力学是理论力学的主体,静力学只是动力学的特殊情况,运动学是为动力学作必要的准备。动力学是在生产实践过程中形成和发展的，随着现代工业和科学技术的发展，在机械、水利、建筑、采矿、化工、航空航天等工程实际中，都需要应用动力学的基本理论。在土木工程中要解决动力基础的隔振与减振，桥梁和水坝在动荷载作用下的振动及抗震，高层建筑中出现的新问题等

2、更离不开动力学的理论。我们在动力学部分着重介绍质点及刚体的运动微分方程、动能定理、达朗贝尔原理等三部分内容，为专业课的学习和今后的工作打好必要的理论基础。第七章质点与刚体的运动微分方程第七章质点与刚体的运动微分方程7.1质点运动微分方程7.2刚体定轴转动微分方程返回7.3转动惯量及其计算本章在介绍动力学基本方程的基础上，给出质点及刚体平动、定轴转动、平面运动的运动微分方程，并应用它们求解质点和刚体动力学的两类基本问题。7.4刚体平面运动微分方程目录7.1质点运动微分方程7.1.1动力学基本方程第七章质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程在力学中把大小和形状

3、可以忽略不计且具有质量的物体称为质点。作用于质点上的力与质点运动之间的关系，由牛顿第二定律表述如下：质点受到力的作用时，所获得的加速度的大小与力的大小成正比，而与物体的质量成反比；加速度的方向与力的方向相同。用公式表示为ma=F式中：m——质点的质量；F——作用于质点上的所有力的合力；a——质点获得的加速度。该式是研究质点动力学问题的基本依据，称为动力学基本方程。第七章质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程根据动力学基本方程，当质点不受力的作用(合力为零)时，其加速度必为零，此时质点将保持静止或匀速直线运动状态不变。物体的这种保持运动状态不变的属性称为惯性

4、。两个质点受力相同时，质量大的加速度小，说明其运动状态不容易改变，即它的惯性大；质量小的加速度大，说明其运动状态容易改变，即它的惯性小。因此，质量是质点惯性的度量。目录7.1.2质点运动微分方程第七章质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程设质量为m的质点M，在合力F的作用下沿某一曲线运动，质点M的位置用对于坐标原点O的矢径r表示（如图），由运动学知该质点的加速度a与矢径r的关系为xyzOrvaM式中：v——质点的速度。将上式代入牛顿第二定律公式得这就是矢量形式的质点运动微分方程。在具体计算中，都采用上式的投影形式，根据坐标系的不同有以下两种：目录第七章质点

5、与刚体的运动微分方程质点运动微分方程（1）直角坐标形式的质点运动微分方程将公式向直角坐标轴上投影，得式中：x、y、z——质点M的坐标；X、Y、Z——各力在x、y、z轴上投影的代数和。目录第七章质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程（2）弧坐标形式的质点运动微分方程当质点M作平面曲线运动时，将公式向质点运动轨迹的切向和法向投影，得式中：s——质点的弧坐标；v——质点的速度；ρ——曲率半径；F、Fn——各力在轨迹的切向、法向上投影的代数和。目录第七章质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程【7.1】质量为m的质点M在坐标平面oxy内运动（如图），其运动方

6、程为x=acost，y=bsint，其中：a、b、都是常量。求作用于质点上的力F。目录第七章质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程【解】由质点的运动方程消去时间t，得可见质点的运动轨迹是以a、b为长、短半轴的椭圆。将质点的运动方程代入弧坐标形式的运动微分方程，可求得力F的投影为因此力F为F=Xi+Yj=－m2(xi+yj)或F=－m2r式中：r——质点M的矢径。可见力F的大小与矢径r的大小成正比，其方向则与之相反，即力F的方向恒指向椭圆中心，这种力称为有心力。目录第七章质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程例7.2液压减振器（如图）的活塞在获

7、得初速度v0后，在液压缸内作直线运动。若液体对活塞的阻力F正比于活塞的速度v，即F=μv，其中μ为比例系数。求活塞相对于液压缸的运动规律，并确定液压缸的长度值。目录第七章质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程解把活塞看作一质点，作用于活塞上的力为液体的阻力F。如图所示，取活塞初始位置为坐标原点，建立x轴。列出活塞的运动微分方程或，则上式成为分离变量后进行积分解得活塞的速度为v=v0e-kt目录第七章质点与刚体的运动微分方程质点运动微分方程将上式写为再次积分解得即为活塞的运动规律。当t→∞时，e-kt→0，由v=v0e-kt可知，活塞的速度趋于零；由上式可

8、知，此时x趋于最大值。由此确定液压缸的