多自由度系统振动微分方程地建立

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1、实用标准文案多自由度系统振动微分方程的建立如下图所示三个自由度系统的有阻尼强迫振动，分别用达朗贝尔原理、牛顿第二定律、拉格朗日方程、能量法、虚位移原理建立其振动微分方程。1、直接平衡法建立方程（1）达朗贝尔原理根据达朗贝尔原理，当系统振动时，将受到干扰力、惯性力、阻尼力以及弹性恢复力作用，这四种力在系统的每一个广义坐标上的分量应保持平衡。对于n个自由度结构系统，力的平衡关系可以表示成为：为惯性力列阵，为阻尼力列阵；为弹性恢复力列阵为干扰力列阵。设系统位移矢量为，则：,,对以上三自由度系统进行受力分析如下图所示：由达朗贝尔原理列平衡方程：：精彩文档实用标准文案：：

2、整理得：写成矩阵形式得：2、牛顿第二定律由牛顿第二定律建立上述系统振动微分方程，与达朗贝尔原理类似，分析各质量单元受力图，只是此时将不加惯性力。牛顿第二定律表达式:其中为物体所受所有外力之和，包括约束力。分别以，，为研究对象列方程：整理得：精彩文档实用标准文案写成矩阵形式得：5、能量法Hamilton（哈密顿）原理课表述为：①其中:体系的总动能：体系的是能，包括应变能及任何保守力的势能。：作用在体系上的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）所做的功。：指定时间段内的变分。非保守力做功的变分：利用Hamilton（哈密顿）原理对例题进行求解动能和势能的变分分别为：（）

3、②()③同时，非保守力所做功的变分为：④精彩文档实用标准文案将②③④代入①中，整理得：由的任意性，可知⑤中，中括号内项恒为零。即有：写成矩阵形式得：4、虚位移原理原理：在一组外力作用下的平衡系统发生一个虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功总和恒等于零。假设体系发生一个虚位移，则平衡力系在上做的总虚功为：其中：为弹性恢复力，与位移反向为阻尼力，与速度反向精彩文档实用标准文案为惯性力，与加速度反向为干扰力弹性恢复力：阻尼力：惯性力：干扰力：令发生虚位移有：整理得：写成矩阵形式得：3、方程系统存在粘性阻尼时：精彩文档实用标准文案①其中：为广义坐标；为体系的总动能；为体系

4、的势能；为广义坐标对应的非保守主动力；为耗能函数弹性势能：耗能函数：体系动能：，，，，，以上式中带入①式中，得出：精彩文档实用标准文案写成矩阵形式得：精彩文档