多自由度系统振动(c)

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1、多自由度系统振动第四章3教学内容多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动频率方程的零根和重根情形多自由度系统的受迫振动有阻尼的多自由度系统多自由度系统振动2021/7/182《振动力学》小结：作用力方程、位移方程和矩阵多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程位移方程柔度矩阵：F中的元素fij是使系统仅在第j个坐标受到单位力作用时相应于第i个坐标上产生的位移.柔度矩阵与刚度矩阵的关系：位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。作用力方程刚度矩阵：K中的元素kij是使系统仅在第j个坐标上产生单位位移而相应

2、于第i个坐标上所需施加的力。质量矩阵：M中的元素mij是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力。2021/7/183《振动力学》小结：耦合与坐标变换多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起惯性力.耦合的表现形式取决于坐标的选择同一个系统选择两种不同的坐标X和Y有变换关系：坐标X下系统：坐标Y下系统：其中T是非奇异矩阵如果恰巧Y是主坐标：对角阵

3、这样的T是否存在？如何寻找？不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力.2021/7/184《振动力学》当T矩阵非奇异时，称矩阵A与矩阵（TTAT）合同。对于质量矩阵也如此。线性代数知:合同矩阵具有相同的对称性质与相同的正定性质。对称性质：若矩阵A对称，则（TTAT）对称。证明：矩阵A对称，A＝AT则有：(TTAT)T＝TTAT(TT)T＝TTAT正定性质：若原来的刚度矩阵K正定，则（TTKT）仍正定。因此坐标变换X＝TY不改变系统的正定性质。多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方

4、程2021/7/185《振动力学》小结：回顾：单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动单自由度系统自由振动分析的一般过程：1、由工程装置建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程；2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值；3、根据本征值，写出标准方程的通解；4、根据初始条件，计算标准方程的特解。单自由度系统自由振动分析的一般目标：1、求系统的固有角频率，即固有频率；2、求解标准方程。2021/7/186《振动力学》多自由度系统的自由振动固有频率模态模态的正交性主质量和主刚度模态叠加法模态截断法多自由度

5、系统振动/多自由度系统的自由振动2021/7/187《振动力学》多自由度系统的固有频率作用力方程：自由振动方程：在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同步振动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动。多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动和单自由度系统一样，自由振动时系统将以固有频率为振动频率。2021/7/188《振动力学》多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动。振动形式1振动形式2振动形式

6、3三自由度系统思考：同步振动是不是解耦振动？2021/7/189《振动力学》多自由度系统的固有频率作用力方程：自由振动方程：代表着振动的形状常数列向量多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动和单自由度系统一样，自由振动时系统将以固有频率为振动频率。同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动。运动规律的时间函数2021/7/1810《振动力学》代入，并左乘：：常数M正定，K正定或半正定对于非零列向量：令：对于半正定系统，有对于正定系统必有多自由度系统振动/多自由度系统的自由

7、振动/固有频率2021/7/1811《振动力学》a、b、为常数（1）正定系统只可能出现形如的同步运动。系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。（2）半正定系统可能出现形如的同步运动。也可能出现形如的同步运动（不发生弹性变形）。主振动多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/固有频率2021/7/1812《振动力学》首先讨论正定系统的主振动：M正定，K正定主振动：正定系统：将常数a并入中代入振动方程：有非零解的充分必要条件：特征方程多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/固有频率2021/7/1

8、813《振动力学》解出n个值，按升序排列为：：第i阶固有频率频率方程或特征多项式仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数。：基频。多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/固有频率2021/7/1814《振动力学》采用位移方程求解固有频率：位移方程：柔度矩阵自由振动的位移方程：主振动：代入，得：特征值多自由度系统振动/多自由度系统的自由振动/固有频率2021/7/1815《振动力学》采用位移方程求解固有频率：位移方程：柔度矩阵自