多自由度系统的振动.ppt

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1、两自由度系统的运动微分方程两自由度系统的模态两自由度系统的强迫振动多自由度系统的运动微分方程、模态、强迫振动第五章多自由度系统的振动5.1两自由度系统的运动微分方程1、单自由度系统描述系统运动状态只需一个广义坐标；系统振动微分方程为一个二阶常微分方程；数学求解一个二阶常微分方程。系统有一个固有频率；系统自由振动的频率为固有频率。2、多自由度系统描述系统运动状态需多个广义坐标；系统振动微分方程一般为多个相互耦合的二阶常微分方程组，即方程组各方程之间在变量上存在耦合（一个微分方程中包含多个变量和导数）数学求解需联

2、立多个方程组，借助线性变换方法消除变量耦合（解耦），然后按单自由度系统的分析方法进行求解，再叠加，即模态分析。系统具有多个不同数值的固有频率（特殊情况下数值可能相等或有一个等于零）。当系统按其中任一固有频率作自由振动时，称为主振动。主振动是一种简谐振动。系统作主振动时，任何瞬时各点位移之间具有一定的相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。返回首页两自由度系统的振动多自由度系统的特点：各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往往导致整个系统的振动。运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求解联立方程

3、。两自由度系统的振动多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。汽车左右对称，化为平面系统两个自由度的振动系统工程实际中大量的问题不能简化为单自由度系统，往往需要简化成多自由度系统；两自由度系统是最简单的多自由度系统，无论是模型的简化、振动微分方程式的建立和求解的一般方法、以及系统响应表现出来的振动特性等等，两自由度系统的多自由度系统没有什么本质上区别，却有数学上求解比较简便的好处。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。5.1两自由度系统的运动微分

4、方程例4.1图a)是一个典型的二自由度弹簧阻尼器质量系统，分别在m1，m2建立坐标系O1x1，O2x2以描述m1，m2的振动。坐标原点O1，O2分别取m1，m2的静平衡位置。两个坐标系的正向均向右。5.1两自由度系统的运动微分方程设m1，m2沿各自的坐标正向分别移动了x1，x2画出隔离体如图(b)所示。f1(t)f2(t)5.1两自由度系统的运动微分方程根据牛顿第二定律可以得到5.1两自由度系统的运动微分方程写成矩阵形式5.1两自由度系统的运动微分方程均是对称矩阵定义：系统的质量矩阵刚度矩阵阻尼矩阵质量影响系

5、数阻尼影响系数刚度影响系数5.1两自由度系统的运动微分方程设位移向量x={x1，x2}T速度向量激励向量F(t)={F1(t)，F2(t)}T加速度向量两自由度系统的运动微分方程：5.1两自由度系统的运动微分方程双质量弹簧系统的自由振动略去激励力及其它阻尼。两自由度的弹簧质量系统，两物体均作直线平移，质量矩阵刚度矩阵5.1两自由度系统的模态13假设系统的运动为代入运动方程，两边左乘uT即：对于正定系统，M正定、K正定、因此2对于正定系统，只能出现如上式x(t)的同步运动，称为主振动。5.1两自由度系统的模态代

6、入运动微分方程上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：5.1两自由度系统的模态化简可得代数齐次方程组这就是两自由度系统的频率方程，也称特征方程主振动5.1两自由度系统的模态对于两自由度系统，存在2个特征值和特征向量。记：u（i）为对应于特征值的特征向量，称为第i阶主振型（又称固有振型）ωi通常按升序排列，称其为第i阶固有频率。也被称为系统的模态向量。特征方程特征值ω2特征向量u对于两自由度系统，存在2个特征值和特征向量。记：u（i）为对应于特征值的特征向量，称为第i阶主振型（又称固有振型）ωi通常按升序

7、排列，称其为第i阶固有频率。也被称为系统的模态向量。每一个模态向量和相应的固有频率构成系统的一个模态。和ω1组成第一阶模态和ω2组成第二阶模态。两自由度系统正好有两个模态，代表两种形式的同步运动。5.1两自由度系统的模态5.1两自由度系统的模态5.2.3系统的通解为了书写简便，引入符号：5.1两自由度系统的模态5.2.3系统的通解频率方程是ω2的二次代数方程，它的两个特征根为弹簧刚度和质量恒为正数，a，b，c，d的值都是正数和都是实根之间有两个确定的比值。19固有振型将特征值和分别代回方程组任一式对应于和，振

8、幅A1和A2这个比值称为振幅比虽然振幅大小与初始条件有关，但当系统按任一固有频率振动时，振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。5.1两自由度系统的模态固有振型（主振型）对应于和振幅A1和A2，之间有两个确定的比值。两个质量任一瞬时的位移的比值x1/x2也同样是确定的，并且等于振幅比在振动过程中系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定振幅比决定了整个系统的振动形态，称为主振型5.1两自由度系