高阶分数阶微分方程系统地解地注记

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1、第32卷第1期工程数学学报Vo1．32No．12015年02月CHINESEJOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSFeb．2015doi：l0．3969~．issn．1005—3085．2015．01．007文章编号：1005—3085(2015)01—0061一II高阶分数阶微分方程系统的解的注记木郑艳萍，李胜利(1一太原师范学院数学系，太原030012；2一太原理工大学数学学院，太原030024)摘要：分数阶导数在描述不同物质的记忆与遗传性质方面提供了有力的工具．在科学和工程的不同领域，都用分数阶微分方程组来描述动力系统．本文主要探讨分数阶

2、微分方程系统初值问题局部解的存在性与唯一性．对于线性系统，运用Schur分解定理，给出其局部解的存在性与唯一性，并通过举例说明该方法是有效的．对于非线性系统，利用Schauder不动点定理，给出了解的存在性；运用Banach不动点定理，给出了解的唯一性．关键词：Riemann-Liouville型导数；局部解；三角形分类号：AMS(2000)35Q51；35Q58中图分类号：O175．14文献标识码：A1引言分数阶导数这一概念的的提出可追溯到1695年，其理论在19世纪得到了很大的发展．有两种形式的分数阶导数，分别是Caputo型和Riemann-Liouville型

3、，对于相当广泛的一类函数，这两种形式的导数是相同的【1J．比如在阶数O／为负实数和正整数时，它们是等价的．分数阶微积分在数学、物理、化学、控制等领域都有广泛的应用，已经吸引了许多科学家和工程学家的关注和研究【2-7】．关于单个分数阶微分方程解的存在性与唯一性已有大量的研究【8-13】．但对分数阶微分方程系统f分数阶微分方程组)解的探讨还不是很多【M】．文献『15】探讨了阶数为q∈(2，31的分数阶微分方程解的存在性与唯一性．文献『161探讨了初值为柯西型的阶数为g∈(2，3]的分数阶微分方程系统初值问题解的存在性和幂型估计．本文将在文献[15，16】的基础上，继续探讨

4、分数阶微分方程系统解的存在性与唯一性．令表示实数域或复数域上的n阶矩阵．若(￡)∈c[0，卅，1in，f=(fl，，2，⋯，厶)T是以各^为分量的礼维向量，则$11。。=supI(t)I．1≤in，0t收稿日期：2013-10—14．作者简介：郑艳萍(1978年1O月生)，女，硕士，讲师．研究方向：算子理论与算子方程’基金项目：国家自然科学基金(11361147),山西省归国留学人员基金(2013-102)．62工程数学学报第32卷r(·)表示伽马函数．下面给出本文需要用别的一些定义及引理．定义1[9】对任意的t>0，函数x(t)的阶数为q∈+的分数阶积分定义为。一(

5、t)=而1／o(￡一丁)。一1(丁)d丁定义2【。1对任意的t>0，函数x(t)的阶数为q∈—l，他)，礼∈z+的R,iemann—Liouville分数阶导数定义为)=。州(⋯n-q-1x㈩引理1[15]如果f(t，z(t))是连续函数，那么分数阶微分方程D。x(t)=I(t，(t))，2

6、至少有一解(t)，其中、●，、●／．=min(。，[bF(q+1)．引理3I】设JF∈c(【0，a]×R，)且f在有界闭集【0，a]×的上关于满足如下的Lipschitz条件l，(￡))一f(t，(￡))I)一(t)f，>0，则积分方程(3)必存在唯一解．引理4【7】给定矩阵A∈，1，2，⋯，是其特征值(重根按重数算)，则存在一酉矩阵U∈Mn，使得U=T=[t是上三角矩阵，且其主对角线上元素满足t“：九，i=1，2，⋯，佗．即每一方阵A都酉等价于一上三角矩阵，且与矩阵的特征值的排序无关．更进一步，若A∈)且的特征值全为实数，则酉矩阵可以选择为实正交矩阵．第1期郑艳萍，

7、李胜利：高阶分数阶微分方程系统的解的注记2主要结论(t)=(Xl(t)，x2(t)，⋯，Xn(t))T，其中(￡)∈c[o，】，1i亿．显然存在M>0，忙Ilo。M．给定线性微分方程系统ID。(t)=(t)，{IDq一(t)l．o+_(⋯’1，(4)0+=(0，0，⋯，0)T，‘【Dq-3(t)I江o+=(0，0，⋯，0)T，其中2