预解算子控制地无穷时滞分数阶微分方程解地存在性

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1、数学杂志Vo1．36(2016)J．ofMath．(PRC)NO．6预解算子控制的无穷时滞分数阶微分方程解的存在性陈丽珍，凡震彬，李刚。(1．山西财经大学应用数学学院，山西太原030006)(2．常熟理工学院数学与统计学院，江苏苏州215500)(3．扬州大学数学科学学院，江苏扬州225002)摘要：本文研究了一类预解算子控制的具有无穷时滞的分数阶泛函微分方程．利用解析预解算子理论和不动点定理，得到了具有无穷时滞分数阶微分方程适度解的存在性，推广和改进了一些已知的结果．关键词：预解算子；分数阶微分方程；无穷时滞；适度解MR(2010)主题分类号：34K50；34K30

2、中图分类号：O175．12文献标识码：A文章编号：0255—7797(2016)06—1215—071引言近年来，由于在物理学、机械、化学、生态和工程等领域中的重要应用，分数阶微分方程得到了很多研究者的极大关注，关于这方面的工作见文[1—8]．上述工作中发展方程中的算子是一个闭的线性算子并且生成经典的半群．然而，当考虑算子生成预解算子时，这方面的工作还很少见．主要困难来源于预解算子没有半群很好的性质，包括紧预解算子范数的一致连续性．幸运的是，不仅证明了解析预解算子范数的一致连续性而且给出了解析预解算子的紧性刻划．这方面的工作可以参阅文『9]．有关无穷时滞泛函微分方程的

3、研究始于20世纪70年代，由于这类方程能更真实反映事物的客观变化过程，故受到人们广泛的关注，且有了丰富的研究成果[10-14]．前人文章中处理的无穷时滞情形主要考虑的是算子生成半群，而对预解算子理论涉足的比较少．本文主要讨论如下由预解算子控制的具有无穷时滞分数阶泛函微分方程解的存在性：Dx(t、=Ax(t)+I¨f(t，t)，t∈J=[0，6I，(1．1)Xo∈h，其中0<<1，A：D(A)X生成紧的解析预解算子&()，t0，DF为Caputo分数阶导数，～为1一OZ阶分数积分；f：[0，b]×X，∈为给定函数．时滞函数：(一o。，0】一X定义为t()=x(t+臼)，

4、0∈(一o。，0]，这里Xt(·)表示时刻t以前的历史状态．本文总假定X属于某抽象相空间．收稿日期：2014—04—22接收日期：2015—05—06基金项目：国家自然科学基金资助项目(11001034；11271316)；山西财经大学青年基金(Z06045)作者简介：陈丽珍(1982一)，女，山西太原，讲师，主要研究方向：泛函分析．数学杂志2预备知识本文总假定为一个Banach空间，并赋予通常意义下的范数lI．1II([0，6]，X)表示定义在区间【0，b]取值于X上的连续函数空问，按范数忙lI=sup{]lx(t)tl，t∈[0，hi}构成Banach空间，([0

5、，6]，)表示定义在区问[0，b]取值于X上的Bochner可积函数全体，定义IIfIlL=(／ll，(￡))／，其中1P<。。，L(X)表示一切从到X的有界线性算子0的全体．在无穷时滞系统的研究中，相空间的选取是非常重要的．本文主要采用HALE和KATO[15]的公理化定义，相关术语可参阅文献『16]．定义2．1相空间是由(一。。，b]到的一些函数构成的集合，赋予半范数I1．1I8满足下列公理．AI：若X：(一。。，+6]一X，b>0，使得X∈，帕]连续，则Vt∈[盯，+6]，下列条件成立：Xt∈，lIx(t)llHllx,Il，lltll8K(t—cr)sup{l

6、l(s)_l：s)+M(t一)1IxIl嚣，其中H>0是一个常数，K：[0，。。)一[0，。。)连续，M：[0，。。)一[0，。。)局部有界，H，(·)，(·)均独立于(·)；A2：对A1中的函数(·)，映射t∈，+b]一Xt∈B连续；A3：空间是完备的．定义2．2设f∈L([0，6]，)，t0，对任意的0

7、h空间，{sn()，0)为上的有界线性算子族，如果满足(s1)S()在R+上强连续，且s(0)=；(s2)对任意的∈D()，t0，有()D()D()，AS()=()Ax；(S3)对任意的X∈D()，t0，如下积分方程成立)X-X+9_s)眠(S)，(2．1)其中9(t)=(t>0)，则称{(t)，t0)为由A生成的预解算子族．注因为是空问上的闭稠定线性算子，因此容易验证对任意的∈X，积分方程(2．1)成立．定义2．5设∑(，0)：={∈C：larg(A—)1<)．若函数(·)：R+一L(X)可以解析地延拓到∑(0，Oo)，0