一阶微分方程解的唯一性注记

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1、第１７卷第３期２０１４年５月高等数学研究ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＶｏｌ．１７，Ｎｏ．３Ｍａｙ，２０１４ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８－１３９９．２０１４．０３．０１０一阶微分方程解的唯一性注记陈玉（江西师范大学数学与信息科学学院，江西南昌３３００２２）摘要结合反例，分析学生在证明有关一阶微分方程解的唯一性问题时的常见错误，给出三种正确证明，并总结各证明方法的适用范围．关键词一阶微分方程；解的唯一性；最大值中图分类号Ｏ１７５．１文献标识码Ａ文章编号１００８－１３９９（２０１４）０３－００３１－０４Ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅ

2、ＳｏｌｕｔｉｏｎｏｆＦｉｒｓｔＯｒｄｅｒＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎＣＨＥＮＹｕ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｃｓ，ＪｉａｎｇｘｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｃｈａｎｇ３３００２２，ＰＲＣ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｓｏｍｅｃｏｍｍｏｎｅｒｒｏｒｓｆｏｒｐｒｏｖｉｎｇｔｈｅｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｆｉｒｓｔｏｒｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎａｒｅａｎａｌｙｚｅｄｗｉｔｈｃｏｕｎｔｅｒｅｘａｍｐｌｅｓ．Ｔｈｒｅｅｃｏｒｒｅｃｔｐｒｏｏｆｓａｒｅｓｕｍｍａ

3、ｒｉｚｅｄ，ａｎｄｔｈｅａｐｐｌｉｃａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｓｅｐｒｏｏｆｓｉｓｎｏｔｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｉｒｓｔｏｒｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ，ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎ，ｔｈｅｍａｘｉｍｕｍＰｉｃａｒｄ解的存在唯一性定理是常微分方程的重要内容，对其唯一性，教材［１］是运用一致收敛函数列极限的唯一性来加以证明的（见以下引理１）．这一证明方法的适用性受到一定的条件限制，学生往存在唯一的解ｄｙ＝ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｙ＝φ（ｘ）往忽略了这一点而盲目运用，导致不应有的错误．本文将以教材［１］中课后习题８为例，对学生证明一阶微分方程解的唯一性

4、问题时的常犯错误加以理论分析，并给出反例．同时给出另外三种正确证明，并就定义于区间｜ｘ－ｘ０｜≤ｈ上，连续且满足初值条件φ（ｘ０）＝ｙ０，其中ｈ＝ｍｉｎ｛ａ，ｂ｝，Ｍ＝ｍａｘ｜ｆ（ｘ，ｙ）｜．Ｍ（ｘ，ｙ）∈Ｒ一阶微分方程解的唯一性问题的四种证明方法的适用性进行比较．１传统证明方法为后面叙述的方便，先给出教材［１］中Ｐｉｃａｒｄ解的存在唯一性定理及其唯一性命题及证明．Ｐｉｃａｒｄ解的存在唯一性定理如果ｆ（ｘ，ｙ）在矩形域教材［１］对其唯一性的证明仅就区间ｘ０≤ｘ≤ｘ０＋ｈ讨论，对于ｘ０－ｈ≤ｘ≤ｘ０的情形可类似进行讨论．见如下引理．引理１［１］已知φ（ｘ）是积分方程ｘｙ＝

5、ｙ０＋∫ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ（１）０ｘ定义于［ｘ０，ｘ０＋ｈ］的连续解，设ψ（ｘ）是方程（１）定义于［ｘ０，ｘ０＋ｈ］上的另一个连续解，则Ｒ：｜ｘ－ｘ０｜≤ａ，｜ｙ－ｙ０｜≤ｂφ（ｘ）＝ψ（ｘ）（ｘ０≤ｘ≤ｘ０＋ｈ）．上连续且关于ｙ满足利普希茨条件，则方程收稿日期：２０１３－０９－１２；修改日期：２０１４－０３－３１证明根据φｎ（ｘ）＝ｙ０＋φ（ｘ０）＝ｙ０，ｘｆ（ξ，φｎ－１（ξ））ｄξ（ｎ≥１），基金项目：国家自然科学基金（１１２０１１９５）；江西省高等学校教学改革研究课题（ＪＸＪＧ－１２－２－１７）∫ｘ０∫（ｘ）＝ｙ＋ｘｆ（ξ，ψ（ξ）），作者简介：陈玉（１９

6、７３－），女，浙江东阳人，硕士，讲师，从事复分析研究．Ｅｍａｉｌ：ｃｈｅｎｙｕｇｙｉ＠ｓｉｎａ．ｃｏｍψ０ｄξｘ０可以估计３２高等数学研究２０１４年５月［１］如果函数（ｘ，ｙ）于带域ｘ上｜φ０（ｘ）－ψ（ｘ）｜≤例１ｆα≤≤βｘ∫ｘ０｜ｆ（ξ，ψ（ξ））｜ｄξ≤Ｍ（ｘ－ｘ０），连续且关于ｙ满足利普希茨条件，则方程ｄｙ（ｘ，）｜φ１（ｘ）－ψ（ｘ）｜≤ｘ｜ｆ（ξ，φ０（ξ））－ｆ（ξ，ψ（ξ））｜ｄξ≤满足条件ｄｘ＝ｆｙ∫ｘ０ｘ（ξ）（）ｙ（ｘ０）＝ｙ０的解于整个区间［α，］上存在且唯一．０Ｌ∫ｘ｜φ０ｘ（ξ）－ψξ｜ｄξ≤ＭＬ（）２β学生在证明这一习

7、题结论中解的唯一性时，易犯以下两个错误．０ＭＬ∫ｘ现设－ｘ０ｄξ＝２！ｘ－ｘ０．错证１直接将引理１的证明过程中的Ｍ改为ＭＬｎ－１｜φｎ－１（ｘ）－ψ（ｘ）｜≤ｘ－ｘ０｜ｆ（ｘ，ｙ）｜在带域α≤ｘ≤β上的最大值ｎ！（）ｎ，Ｍ＝ｍａｘ｜ｆ（ｘ，ｙ）｜，（ｘ，ｙ）Ｄ∈则有其中ｘ∫ｘ０｜φｎ（ｘ）－ψ（ｘ）｜≤｜ｆ（ξ，φｎ－１（ξ））－ｆ（ξ，ψ（ξ））｜ｄξ≤ｘＤ＝｛（ｘ，ｙ）：α≤ｘ≤β，－∞＜ｙ＜＋∞｝，区间ｘ０≤ｘ≤ｘ０＋ｈ改为α≤ｘ０≤ｘ≤β，其余证明过程相同．（ξ）（）０Ｌ∫ｘ｜φｎ－１