高考数学总复习教程第13讲 三角函数式的恒等变形

《高考数学总复习教程第13讲 三角函数式的恒等变形》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、高考数学总复习教程第13讲三角函数式的恒等变形一、本讲内容本讲进度，两角和与差的三角函数，倍角公式及相应变形要熟记并灵活运用，半角公式和差化积，积化和差等公式，来作为公式出现，不要求记忆，也应有所涉猎，三角函数的应用问题。二、学习指导本讲公式较多，应搞清它们的来龙去脉和相互关系，以便于记忆和应用。本讲的基础是两角和的余弦公式，在坐标平面的单位图中，利用α+β=α―(―β)，从而使（0，0）与（cos(α+β)，sin(α+β)）两点间距离等于（cosα，sinα）与(cos(―β)，sin(―β))两点距离，推导而得，以－β代β，即得两角差的余

2、弦公式：利用诱导公式及余弦的两角和差公式，即可推出两角和，差的正弦公式；利用商数关系推得两角和、差的正切公式：在和角公式中，令β=α，即得倍角公式，由余弦的倍角公式，即得半角公式，（半角公式sin2=，cos2=，tan==应加记忆），把两角和、差的公式相加减，即得积化和差公式，在积化和差公式中进行变量代换：α=，β=，即是和差公积公式，两角和、差公式的另一个重要形式是asinx+bcosx=sin(x+)，其中tan=，（当然，根据需要，也可写为cos(x－)的形式）三、典型例题讲评例1．讨论函数f(x)=－的性质。显然，要先进行化简，而化简

3、过程中要注意“保真”即必须是恒等变形，任何微小差异都必须注明。本题中，角各不相同，（计有x、，－，+4种之多）函数名称不同。第一步用商数关系进行切、弦互化这一步为恒等变形：f(x)=tan－；第二步，诱导公工化去+x，半角公式，把向x推进：f(x)=－－.这一步亦为恒等变形，第三步，cos(－x)即sinx，约去1－sinx，这是否恒等变形？要看原式中sinx对x取值范围没有影响：f(x)=－==－cta2x，至此，问题已大半解决了。例2．化简：（1）++.（2）sin(α+β)cosα－[sin(2α+β)－sinβ].第（1）小题为α、β、

4、γ的轮换对称式，故抓住一项变形，其余的进行轮换即可.第（2）小题中，把2α+β及β改选为(α+β)+α和(α+β)－α，按和角公式展开，问题即没到解决。例3．求使f(θ)=+值为4的最小正角θ.先化简可减少计算量，把1－cosθ写为2sin2，1+cosθ=2cos2，sinθ=2sincos原式可写为－cat－tan原题就成为关于tan的二次方程，另应注意，2+，2分别是tanπ，tan的值.例4．求值：（1）coscosπcosπcosπcosπ（2）tan(150－α)tan(750－α)+tan(150－α)tan2α+tan(750－

5、α)tan2α本题体现了公式的活用，如第（1）题中cosα=，第（2）小题中tanα+tanβ=1－tanαtanβ，等.例5．求值域：（1）y=x∈[0，π]（2）y=在第（1）小题中，用2y－ysinx=cosx+1，sin(x+)=2y－1，≤1的办法求y的范围是不可取的。因为x∈[0，π]，故cosx，sinx取值都受限是否取满[0，1]是有疑问的，我们另辟蹊径：法一，看作(－sinx，cosx)与（－2，－1）两点间连线斜率的取值范围，其中第一点轨道为单位圆的一部分（见图示）法二、记t=tan∈[0，+1]则y===，可先求出分取值范

6、围，再求y的范围.在第（2）小题中，可以使用第（1）小题中的法二，也可改写为y==[()2+()]看作有条件的二次函数的值域.例6．是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+a－x∈[0，]的最大值为1？若存在，求出这个a；若不存在，说明理由.这是一个关于cosx的二次函数，应根据cosx的取值范围与对称轴的位置关系，讨论其最大值的情况.例7．已知cos(+x)=，x∈(π，π)，求的值.(π，π)横跨三、四象限，求x的三角函数值有诸多不便，而(+x)∈(π，2π)，故以(+x)为“基本角”较为方便，剩下的工作就是把往(+x)的这角函

7、数靠拢，切化弦，分子提取2sinx，出现原式=是很自然的，下面就要看你的经验了四、巩固练习1．已知sin=，cos=，＜θ＜＜＜π，求cos(－θ)2．已知tan=，tanαtanβ=，求cos(α－β)3．求证：++=4．不查表，求值：5．一元二次方程mx2+(2m－3)x+(m－2)=0的两根为tanα和tanβ，求tan(α+β)的取值范围.6．一扇形半径为1，圆心角为，求其一边在一条半径上的内接矩形的最大面积。又若此矩形以扇形的对称轴为对称轴，则其最大面积是多少？7．已知函数f(x)=asinx+bcosx.（1）若f()=，且f(x)

8、的最大值为，求a、b的值；（2）若f()=1，且f(x)的最小值为k，求k的取值范围.8．一段直河道宽1km，两岸边各有一镇A、B，已知两地间直线距离