初二数学勾股定理的逆定理知识精讲 人教义务几何

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1、初二数学勾股定理的逆定理知识精讲人教义务几何【学习目标】1．能熟练地说出勾股定理的逆定理．2．会应用逆定理判定一个三角形是否是直角三角形．3．学会通过代数运算证明几何问题的方法．【主体知识归纳】1．勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．2．直角三角形的判定判定一个三角形是直角三角形，一是利用定义，即证明三角形中有一个角是直角，二是利用勾股定理的逆定理．【基础知识精讲】1．本节主要是勾股定理的逆定理及其应用，它与勾股定理都是初中阶段所学数学的重要思想——数形结合思想的重要体现．判断三角形的形状是本节命题热点，它常与

2、完全平方公式相配合，通过代数法来证明几何问题．2．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数(或勾股弦数)，勾股数是一种重要的数组，找勾股数可以用试验的方法．实际上，人们已证明了许多公式，用公式很容易找出许多组勾股数．例如在△ABC中，三边长分别为a、b、c，其中a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1，只要用n＞1的正整数代入公式即可．【例题精讲】［例1］如图3—224，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，CD＝h．求证：(1);(2)a＋b＜c＋h;(3)以a＋b，h，c＋h为边的三角形是直角三角形．证明：(1)∵∠ACB＝9

3、0°，CD⊥AB于D，∴S△ABC＝AB·CD＝AC·BC．∴AB·CD＝AC·BC，即ch＝ab，∴．(2)∵(c＋h)－(a＋b)＝(c＋)－(a＋b)＝∵c＞a，c＞b，∴(c＋h)－(a＋b)＞0，∴c＋h＞a＋b，即a＋b＜c＋h．(3)∵c＋h＞a＋b，c＋h＞h，∴(c＋h)2＝c2＋2ch＋h2＝a2＋b2＋2ab＋h2＝(a＋b)2＋h2．∴以a＋b，h，c＋h为边的三角形是直角三角形．说明：本题综合考查几何问题的代数解法，其关键是掌握面积公式、不等式等代数知识．［例2］如图3—225，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分

4、，我反走私A艇发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意，反走私艇A通知反走私艇B：A和C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里，反走私艇B测得距离C艇是12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海?解：设MN与AC相交于E，则∠BEC＝90°，又∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°．由于MN⊥CE，∴走私艇C进入我领海的最近距离是CE．①－②得CE＝≈0．85(小时)＝51(分)，∴9时50分＋51分＝10时41分．答：走私艇C最

5、早在10时41分进入我国领海．说明：用勾股定理及逆定理也可以解决诸如上例类似实际问题．【同步达纲练习】1．填空题(1)若一个三角形三边满足c2－a2＝b2，则这个三角形是__________(2)△ABC的三边a＝1．2cm，b＝1．6cm，c＝2cm，则∠C＝__________．(3)已知三角形的三边分别是m2－1，2m，m2＋1，则最大角是__________(4)四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA各边长顺次为3，4，13，12，且∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积为__________(5)有一个三角形两边长为4，5，要使三角形为直角三角形，则第三边为__

6、________(6)设a＞b，如果a＋b，a－b是三角形较小的两边，当第三边等于__________时，这个三角形为直角三角形．(7)如图3—226，在Rt△ABC中，E是斜边AB上一点，把△ABC沿CE折叠，点A与点B恰好重合，如果AC＝4cm，那么AB＝__________cm．(8)如图3—227，∠ADB＝45°，BD＝1，把△ABD沿直线AD折叠过去，点B落在点B′的位置，标出B′的位置，则BB′的长为__________(9)如图3—228，AD是BC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿直线AD翻折过来，点C落在点C′的位置，如果BC＝4，那么BC′的长等于_

7、_________(10)已知四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，∠BAD＝90°，且△ACD是一个直角三角形；那么AD的长等于__________2．选择题(1)已知在△ABC中，三条边长分别为a、b、c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，则三角形为A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形(2)下列各组能组成直角三角形的是A．4、5、6B．2、3、4C．11、12、13D．8、15、17(3)三角形三边长分别为6、8、10，那么它最短边上的高为A．6B．4