初二数学四边形知识精讲 人教义务几何

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1、初二数学四边形知识精讲人教义务几何【学习目标】1．能说出四边形及边、顶点、内角、对角线、外角的定义，知道四边形具有不稳定性．2．掌握四边形的内角和及外角和都等于360°的性质，并能灵活运用该性质进行有关的计算和证明．3．知道四边形的对角线是解决四边形问题时常用的辅助线．【主体知识归纳】1．四边形的有关概念在平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做四边形；组成四边形的各条线段叫做四边形的边；每相邻两边的公共端点叫做四边形的顶点；连结不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线；相邻两边所组成的角叫做四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的

2、延长线所组成的角叫做四边形的外角．2．四边形内角和定理：四边形的内角和等于360°．3．四边形外角和定理：四边形的外角和等于360°．4．四边形具有不稳定性．【基础知识精讲】1．三角形的三个顶点确定一个平面，所以三个顶点是共面的，也就是说，三角形肯定是平面图形，但四边形就是不这样，它的四个顶点有不共面的情况，又限于我们学习的是平面图形，所以在四边形的定义中加上“在平面内”这个条件．2．四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°．这个定理的证明，关键是如何将四边形的所有角转化成三角形的角，利用三角形的内角和定理去证明．教科书中采用对角线的方法来证明的，还可以用下面两种

3、作辅助线的方法证明此定理．如图4－1、4－2．【例题精讲】［例1］已知一个四边形的其中三个角的度数之比为1∶2∶3，第四个角的度数比前三个角中最大的一个角小9°，求第四个角的度数．剖析：由于已知前三个角的度数之比及第四个角与前三个角中最大角的关系，因此可用四边形内角和定理利用列方程的方法求解．解：设前三个角的度数分别为x、2x、3x，根据题意，得：x＋2x＋3x＋（3x－9°）＝360°，∴x＝41°，∴3x－9°＝114°．∴第四个角的度数是114°．说明：在应用四边形内角和定理解题时，可结合代数方程思想，用代数方法解决几何计算问题．［例2］如图4－3，在四边形ABC

4、D中，AD∥BC，∠B＝60°，∠BCD＝150°，AB＝BC＝3cm，求AD的长．图4－3剖析：由图形可看出，连结对角线AC，便出现△ABC和△ACD由条件可判断△ABC是等边三角形，AC＝AB＝BC＝3cm，进而得到△ACD为直角三角形，且∠D＝30°，所以，根据三角形的性质即可求得AD＝2AC＝6cm．解：连结AC，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC＝BC＝AB＝3cm，∠ACB＝60°．∵∠BCD＝150°，∴∠ACD＝150°－60°＝90°．∵AD∥BC，∴∠D＋∠BCD＝180°．∴∠D＝180°－∠BCD＝180°－1

5、50°＝30°．∴AD＝2AC＝2×3＝6（cm）．［例3］如图4－4，已知四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝13，AD＝12，∠B＝90°．求四边形ABCD的面积．图4－4剖析：由∠B＝90°，AB＝3，BC＝4．想到连结AC，利用勾股定理解得AC＝5，又AD＝12，CD＝13，由勾股定理的逆定理得∠DAC为直角，从而S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD．解：连结AC，在Rt△ABC中有AC2＝AB2＋BC2＝25．∵CD＝13，AD＝12，有122＋52＝132，即AD2＋AC2＝CD2．∴△ACD是直角三角形，∠DAC＝90°．∴S四边形ABCD＝S

6、△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AD·AC＝×3×4＋×12×5＝36答：四边形ABCD的面积为36．说明：在四边形的有关计算或证明中，常常连结四边形的对角线或添加其他辅助线，把四边形的有关问题转化为三角形问题，利用三角形的有关性质去解决．【同步达纲练习】1．填空题（1）折叠式防盗窗利用的是四边形的_____性．（2）四边形最多有_____个钝角，_____个直角，_____个锐角．（3）在四边形ABCD中，∠B＝80°，∠A、∠C、∠D的度数比为2∶3∶5，则∠A＝_____度，∠C＝_____度，∠D＝_____度．（4）四边形ABCD的四个外角之比为8∶6∶3∶

7、7，则各外角度数为_____．（5）如图4－5和图4－6中，∠α＝_____度，∠β＝_____度．（6）如图4－7，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝_____．2．在四边形ABCD中，已知∠A＝∠C，∠B＝∠D，求证：AB∥CD，AD∥BC．3．在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠A、∠B、∠C的度数之比是3∶1∶2，求这个四边形四个角的度数．图4－84．如图4－8，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求∠ABC＋∠ADC的度数．图4－95．如图4－9，四边形ABCD中，∠A、∠B的平分线相交于点E，试找出∠AE