初二数学勾股定理 人教义务几何

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1、勾股定理人教义务几何【学习目标】1．能熟练地说出勾股定理．2．会运用勾股定理进行有关的计算和证明．【主体知识归纳】1．勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2．2．利用勾股定理，作长为(n为大于1的自然数)的线段．【基础知识精讲】1．勾股定理的证明是本节的难点．教科书介绍的拼图法是一种面积证法．应注意，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积就不会改变．其实，证明勾股定理有很多方法，下面我们用一种简单方法来证明．把直角边为a、b，斜边为c的两个全等的直角三角形像右图3—208那样放置，C、B、D三点在同一条直线上，连结AE．∵∠1

2、＝∠3∠1＋∠2＝90°∴∠3＋∠2＝90°．∴∠ABE＝90°．∴S△ABE＝c·c＝c2．∵S△ACB＝ab，S△BDE＝ab，S梯形ACDE＝(a＋b)(a＋b)＝(a＋b)2，又∵S梯形ACDE＝S△ABC＋S△BDE＋S△ABE，∴(a＋b)2＝ab＋ab＋c2，∴a2＋b2＝c2．2．由勾股定理知道直角三角形的两边的长，可以求其第三边，具体说：已知两直角边求斜边；已知斜边及一直角边，求另一直角边．在计算中，我们不仅要掌握公式：a2＋b2＝c2，而且还要掌握a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，c＝这几种变式．勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解

3、决直角三角形中计算、证明问题，一定要熟练掌握．【例题精讲】［例1］在Rt△ABC中，∠B＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且a＝3，b＝4，求c．剖析：已知给出的∠B＝90°，如不注意判断哪边是斜边，想当然地运用c2＝a2＋b2，这样是错误的，其实b是斜边，应根据b2＝a2＋c2来计算．解：由题意知b为斜边，故由勾股定理得b2＝a2＋c2，∴c2＝b2－a2＝42－32＝7，∴c＝．［例2］已知直角三角形斜边长为2，周长为2＋，求其面积．剖析：欲求直角三角形的面积，只需求两直角边之积，而由已知可得两直角边之和为，结合勾股定理知其平方和为4，于是可用方程求解．解

4、：设此直角三角形两条直角边为a，b则①2－②2，得2ab＝2，则ab＝，即这个直角三角形的面积为．说明：此解法采用“设而不求”的技巧，应该体会并掌握之．［例3］已知：如图3—209，正方形ABCD，边长为1，以AE为折痕，使AD落在AC上，且D落在F上，求DE的长．剖析：由D与F重合，得Rt△ADE≌Rt△AFE，所以EF＝DE．在Rt△EFC中求解．解：设DE＝x，则EC＝1－x．∵AE为折痕，D与F重合，∴Rt△ADE≌Rt△AFE．∴EF＝ED＝x．∠EFC＝90°，AF＝AD．∵正方形边长为1，∴AC＝，∴CF＝－1．在Rt△EFC中，EC2＝EF2＋FC2，∴(1－

5、x)2＝x2＋(－1)2．解得x＝－1，∴DE＝－1．说明：本题也可先证△EFC为等腰直角三角形，再由DE＝EF＝FC得DE＝－1．［例4］已知：如图3—210，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上任意一点．求证：AB2－AC2＝EB2－EC2．分析：已知中只有AD⊥BC这一主要条件，而结论是线段的平方的形式，所以可考虑勾股定理．证明：∵AD⊥BC，∴△ABD、△ADC、△EBD、△EDC都是直角三角形．∴AB2＝BD2＋AD2，AC2＝AD2＋DC2，EB2＝BD2＋ED2，EC2＝ED2＋DC2．∴AB2－AC2＝(BD2＋AD2)－(AD2＋DC2)＝BD2－DC2．

6、而EB2－EC2＝(BD2＋ED2)－(ED2＋DC2)＝BD2－DC2，∴AB2－AC2＝EB2－EC2．说明：当结论中含有线段的平方的形式，而条件中出现直角三角形，这时可先考虑勾股定理．【同步达纲练习】1．填空题(1)在Rt△ABC中，斜边AB＝12，则AB2＋BC2＋CA2＝__________．(2)直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长为__________．(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，则a＝_________，b＝__________．(4)在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝a，则BC＝__________．(5)

7、△ABC中，∠C＝90°，AD、BE为中线，BE＝2，AD＝5，则AB＝__________．(6)等腰三角形底边长为a，顶角是底角的4倍，则腰上的高为__________．(7)一人不绕矩形操场两邻边走，而取捷径沿对角线走，省去了矩形长边的一半的距离，则矩形短边与长边的比为__________(8)如图3—211，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交于AC于M，若CM＝5，则CE2＋CF2＝__________(9)在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为