初二数学角的平分线 人教义务几何

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1、角的平分线人教义务几何【学习目标】1.能熟练地说出角平分线的性质定理和判定定理.2.能利用两个定理证明两个角相等或两条线段相等.3.知道互逆命题和互逆定理以及原命题与它的逆命题的关系,能说出题设和结论比较简单的命题的逆命题.【主体知识归纳】1.两个定理在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等;到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上;角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.2.两个概念在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题;如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它

2、也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理.【基础知识精讲】1.应正确区分角平分线的性质定理和判定定理,性质定理是说“在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等”它反映了角平分线上点的纯粹性,即只要是角平分线上的点,到角两边的距离就一定相等,无一例外,判定定理是说:“到一个角两边距离相等的点,在这个角的平分线上,”它反映了角平分线的完备性,即只要是到角两边距离相等的点,无一例外地都一定在角的平分线上,绝不会漏掉一个,实际应用中,前者用来证明线段相等,这样就不必再用全等三角形,使用的前提是有角的平分线,关键是图中是否有“垂直”,后者用来证明角相等(角平分线).2.学完角平

3、分线的性质定理与判定定理后,证题时,要善于直接运用定理,不要按照老思路总是先找全等三角形,那样相当于又重新证明了一次定理.3.辨别(或写出)互逆命题的关键是首先分清其题设与结论,只要交换其相互位置都可;原命题与逆命题的真假性并无一定的依存关系,即:原命题的真假不能决定其逆命题的真假.每个命题都有逆命题,但一个定理不一定有逆定理;若一个定理的逆命题为经过证明的真命题则它有逆定理,若一个定理的逆命题为假命题,则它没有逆定理,只能算一个逆命题而已.【例题精讲】[例1]如图3—120,已知BO、CO分别是△ABC的外角∠CBP和∠BCQ的平分线.求证:AO平分∠BAC.剖

4、析:欲证AO平分∠BAC,只需证点O到∠PAQ的两边的距离相等,而O又在∠CBP、∠BCQ的平分线上,所以O到∠CBP、∠BCQ的两边的距离相等.证明:作OD⊥BC于D,OE⊥AP于E,OF⊥AQ于F.∵O分别在∠CBP、∠BCQ的平分线上,∴OD=OE,OD=OF(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).∴OE=OF.∵OE⊥AP,OF⊥AQ,∴O在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).即AO平分∠BAC.[例2]如图3—121,△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,BD=CD,求证:∠B=∠C.剖析:由角平

5、分线的性质定理可为证明Rt△BDE≌Rt△CDF提供条件,DE=DF.证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.∴DE=DF(角的平分线上的点到角的两边距离相等).在Rt△BDE和Rt△CDF中,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴∠B=∠C.说明:以上两例考查角的平分线性质定理的应用,关键是在遇到角平分线的点到角两边的距离时,直接运用性质定理得到距离相等,而不要再证明两个三角形全等.[例3]写出下列命题的逆命题,并判断真假.(1)若x=3,则x2=9;(2)三角形的任何两边之和大于第三边;(3)面积相等的两个三角形全等.解:(1)的逆命题是:

6、若x2=9,则x=3,它是假命题.(2)的逆命题是:如果三条线段中的任意两条线段之和都大于第三条线段,那么这三条线段能组成三角形.它是真命题.(3)的逆命题是:如果两个三角形全等,那么它们的面积相等,它是真命题.说明:要说明一个命题是真命题一般必须加以证明;要说明一个命题是假命题只要能举出一个反例就可以了.【同步达纲练习】1.填空题(1)把一个角分成__________的角的__________叫做角的平分线.(2)角的平分线上的点到__________距离相等.(3)到角的两边距离相等的点都在__________上.(4)角的平分线是到角的两边_________

7、_的所有点的__________.(5)一个定理作为一个命题一定有__________命题,但真命题的逆命题__________是真命题,所以并不是每一个定理都有__________.2.选择题(1)下列说法中正确的是A.每个定理都有逆命题B.每个定理都有逆定理C.假命题的逆命题是真命题D.真命题的逆命题是真命题(2)下列命题中的假命题是A.三角形任意两条角平分线的交点在第三条角的平分线上B.如果两个三角形全等,那么它们的最长边相等C.三角形任意两条角平分线的交点在三角形内部D.三角形任意两条角平分线的交点到三个顶点的距离相等(3)下列命题中,逆命题是假命题的是A

8、.两个角的

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