初二数学相似三角形的性质 人教义务几何

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1、初二数学相似三角形的性质人教义务几何【学习目标】1．能熟练地说出相似三角形的性质．2．能灵活运用三角形相似的判定定理和性质定理解决一些简单的证明和计算问题．【主体知识归纳】1．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．2．相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．3．相似三角形周长的比等于相似比．【基础知识精讲】1．学习了相似三角形的性质后，对于涉及到相似三角形对应角平分线、对应中线、对应高、周长的问题，应立即联想到相似三角形对应线段的比等于相似比，等于周长的比的性质．2．利用相似三角形的有关性质可解决许多实际问题．【例题精讲】［例1］如图5－62，已知△A

2、BC∽△A′B′C′，点D、D′分别是BC、B′C′的中点，AE⊥BC于E，A′E′⊥B′C′于E′．求证：∠DAE＝∠D′A′E′．图5－62剖析：欲证∠DAE＝∠D′A′E′，只需证Ｒｔ△ADE∽Ｒｔ△A′D′E′即可．证明：∵△ABC∽△A′B′C′,BD＝CD,B′D′＝C′D′,AE⊥BC,A′E′⊥B′C′．∴（相似三角形对应高的比、对应中线的比等于相似比）．∴Rt△ADE∽Rt△A′D′E′．∴∠DAE＝∠D′A′E′．［例2］厨房角柜的台面是直角三角形（如图5－63），如果把各边中点连线所围成黑色大理石（图中阴影部分），其余部分铺成的三角形铺成白色大理石．求黑色大理石

3、的面积与白色大理石的面积的比．图5－63解：∵E、G、F为三边的中点，∴EG、EF、FG为△ABC的中位线．∴GEBC，EFAC，GFAB．∴△EFG∽△CAB，∴∠GEF＝90°．∴．∴黑色大理石的面积与白色大理石的面积的比为1∶3．［例3］如图5－64（1），铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高多少？剖析：本题是一实际问题．关键是转化成数学问题，由相似三角形知识来解决．解：画出如图5－64（2）的图形，由题意知:△AOC∽△BOD，OA＝1m，OB＝16m，高CE＝0.5m，由相似三角形的性质得，即．∴DF＝8（m）即长臂端点升高8

4、米.［例4］如图5－65，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形,已知∠C＝90°，AC＝12　cm，BC＝5　cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，并求出这种不锈钢片的边长．图5—65剖析：要求面积最大的正方形，则正方形的顶点应落在△ABC的边上，那么顶点落在边上时有如图5－66、5－67两种情况．解：如图5－66，设正方形EFGH的边长为ｘcm，过C作CD⊥AB于D，交EH于点M．图5—66∵∠ACB＝９０°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13．∵AB·CD＝AC·BC，∴CD＝．∵EH∥AB，∴△CEH∽△CAB．∴．即．∴i＝（cm）．如图

5、5－67，设正方形CEGH的边长为ycm．图5—67∵GH∥AC，∴．∴．∴y＝（cm）．∵x＜y，∴应按图5－67裁剪，这时正方形面积最大，它的边长为cm．【同步达纲练习】1．选择题（1）已知两个三角形相似，它们对应边的比是2∶3，周长的和是25，则这两个三角形的周长分别是（　　）A．10和15B．11和14C．12和13D．9和16（2）如图5－68，O是△ABC内任意一点，AD＝AO，BE＝BO，CF＝CO，则△ABC与△DEF的周长为（　　）图5－68A．1∶3B．3∶1C．3∶2D．2∶3（3）一斜坡长70米，它的高为5米，将重物从斜坡起点推到坡上20米处停下，停

6、下地点的高度为（　　）A．米B．米C．米D．米（4）如图5－69，□ABCD中，E是BC的中点，F是BE的中点，AE与DF交于H，则FH∶DH的值是（　　）图5－69A．B．C．D．（5）□ABCD中，P在BC的延长线上，AP交BD于R，交CD于Q，若DQ∶CQ＝4∶3，则AR∶PR为（　　）A．4∶3B．3∶4C．3∶7D．4∶7（6）在△ABC中，BD、CE分别为中线，BD、CE相交于O，M、N分别为BD、CE的中点，则C△OMN∶C△OBC为（　　）A．1∶4B．1∶3C．1∶9D．1∶2．填空题（1）△ABC∽△A′B′C′,对应高的比为3∶2,BC边上的中线为8cm,则

7、对应边B′C′边上的中线长为_____．（2）顺次连结三角形三边上的中点所构成三角形的高与原三角形对应高的比为_____．（3）△ABC∽△DEF，相似比为3，△ABC的周长为45cm，△DEF的三边之比为2∶3∶4，则△DEF的最短边长为_____．（4）延长等腰梯形的两腰相交，若构成的三角形的中位线恰好是梯形的上底，则该三角形的中位线与原梯形的中位线之比是_____．3．如图5－70，已