初二数学平行线等分线段定理精讲精练 人教义务几何

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1、初二数学平行线等分线段定理精讲精练人教义务几何【学习目标】1．能说出平行线等分线段定理及两个推论，并会运用它们进行有关的证明．2．会根据平行线等分线段定理，按要求等分一条已知线段．【主体知识归纳】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．2．推论1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰．3．推论2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．【基础知识精讲】1．学习时，为了能灵活地掌握和运用定理，可多见识一些定理的变式图形，如

2、图4－85，若已知l1∥l2∥l3，AB＝BC，则由定理就可以直接得到A1B1＝B1C1，应认识到：被平行线组所截两条直线的相对位置，不影响定理的结论．图4—852．平行线等分线段定理及推论，是证明线段相等的重要定理，因此在三角形或梯形中，要注意观察是否符合定理条件．若题目中只给出了三角形一边（或梯形一腰）的中点这个条件，常常过该点作三角形（或梯形）其他边（或底）的平行线，从而构造出推论1、2中的基本图形，这是常用的一种辅助线．【例题精讲】［例1］如图4－86，已知∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝3

3、AC，求证：AD＝DE．图4—86剖析：由已知∠1＝∠2，AE⊥BE，易想到延长AC、BE相交于F，构成全等三角形得到BE＝FE，即E是BF的中点，再由推论2想到过E作EG∥BC交AF于G，利用推论2即可得证．证明：延长AC、BE相交于点F，过E作EG∥BC，交AF于G．∵∠1＝∠2，AE＝AE，∠AEB＝∠AEF＝90°，∴△ABE≌△AFE．∴AB＝AF，BE＝FE．∵AB＝3AC，∴AF＝3AC．∴FC＝2AC．∵BC∥EG，∴CG＝FG．∴AC＝CG＝GF．∴AD＝DE．说明：有效地结合条

4、件，进行补形，并通过添加平行线，利用平行线等分线段定理来证明问题，对于证题思路及证明过程要认真体会．［例2］已知如图4－87，△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于F，求证：AF＝AC．图4—87剖析：要证AF＝AC，只要证AF＝FC．考虑到D是BC的中点，故可过点D作DG∥BF，交AC于点G，构造出“过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边”的基本图形，从而可得CG＝GF＝FC，同时还可兼得AF＝FG，问题得证．证明：过点D作DG∥BF交AC于G．在△BC

5、F中，BD＝CD，DG∥BF，∴CG＝GF．在△ADG中，AE＝DE，EF∥DG，∴AF＝FG，∴AF＝FG＝GC，即AF＝AC．［例3］如图4－88，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，AE＝EB．图4—88求证：CE＝DE剖析：欲证CE＝DE，可构造以CE、DE为对应边的两个全等三角形，由已知得E是梯形一腰的中点，因此由推论1可想到过E作底的平行线EF，这样就构造了两个全等三角形．证明：过E作EF∥BC交CD于F，∵AE＝BE，EF∥BC，∴DF＝CF∵∠BCD＝90°，∴

6、∠DFE＝∠CFE＝90°又∵EF＝EF，∴△ECF≌△EDF，∴CE＝DE．【同步达纲练习】1．选择题（1）如图4－89，l1∥l2∥l3，则下列结论中错误的是（　　）图4—89A．由AB＝BC可得FG＝GHB．由AB＝BC可得OB＝OGC．由CE＝2CD可得CA＝2BCD．由GH＝FH可得CD＝DE（2）如图4－90，AD∥EF∥BC，AE∶EB＝2∶3，且DF＝4cm，则DC等于（　　）图4—90A．5cmB．6cmC．8cmD．10cm（3）如图4－91，AD是△ABC的高，E为AB的中点

7、，EF⊥BC，如果DC＝BD，那么FC是BF的（　　）图4—91A．倍B．倍C．倍D．倍2．填空题（1）如图4－92，已知AB∥CD∥EF，AF、BE相交于点O，若AO＝OD＝DF，BE＝10cm，则BO＝_____．图4—92（2）已知：D为△ABC的边AB的中点，DE∥BC交AC于E，若AE＝3，则AC＝_____．（3）已知：在△ABC中，AB＝AC，F为BC的三等分点，EF⊥BC交AB于E，若BE＝2，则AB＝_____．（4）如图4－93，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，AC＝

8、10cm，D是AB的中点，DE⊥BC于E，则CE＝_____cm．图4—933．作图题：在已知线段AB上求作一点C，使AC∶CB＝3∶2（不写作法，保留作图痕迹）．4．已知△ABC中，AB＝AC，E是AC中点，EF⊥BC于点F，求证：BC＝4CF．5．如图4－94，已知在△ABC中，AD、BF为中线，AD、BF相交于点G，CE∥FB交AD的延长线于E．求证：AG＝2DE．图4—946．如图4－95，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD中点，BE延长线交AC于F．求证：CF