例谈圆锥曲线与平面向量交汇题 专题辅导 不分版本

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1、例谈圆锥曲线与平面向量交汇题http://www.DearEDU.com李昭平由于平面向量具有代数（坐标）表示和几何表示的特点，这就使其成为表述圆锥曲线问题的重要载体。圆锥曲线与平面向量的交汇题是近几年各省市考题的热点之一。这种问题往往以圆锥曲线为主线，融向量、函数、方程、不等式、数列等知识于一体，具有知识点多、覆盖面广、综合性强的特点，能有效考查考生的思维水平和综合能力。下面举例介绍这种问题的六大类型，供同学们学习时参考。类型1——求圆锥曲线的方程例1.如图，A、B、C是长轴为4的椭圆上的三点，点A是长轴

2、的一个端点，BC过椭圆的中心O，，求椭圆的方程。分析：建立坐标系，设点C的坐标，将向量间的关系（垂直关系、长度关系）转化为代数表达式，从而确定椭圆的方程。解：建立如图所示的直角坐标系，则有A（2，0），椭圆方程为设点C的坐标为，则点B的坐标为即，即得将代入（*）式，得则C（1，1）将代入椭圆方程得，，即故椭圆方程为例2.已知△OFQ的面积，且。设以O为中心，F为焦点的双曲线经过Q，，当取得最小值时，求此双曲线方程。分析：设点Q的坐标，将向量的数量积、长度转化为代数表达式，再求目标函数的最小值，从而确定双曲线

3、的方程。解：设双曲线方程为得当且仅当，即时，最小，此时有或所以故所求的双曲线方程为类型2——求待定字母的值例3.设双曲线与直线相交于两个不同的点A、B，直线与y轴交于点P，且，求a的值。分析：设A、B两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a的值。解：设因，则联立，消去y并整理得：由A、B是不同的两点，得得到且而即且解得：解得：因为且，所以类型3——求动点的轨迹例4.如下图，动直线与y轴交于点A，与抛物线交于不同的两点B和C，且满足，其中。求△POA的重心Q的轨迹。分析：将向

4、量表达式转化为坐标表达式，消去参数获得重心Q的轨迹方程，再运用判别式确定实数k的取值范围，从而确定轨迹的形状。解：由得：由，且设则由由而，则消去k得：设重心，则代入（*）式得：由且且可得且故点Q的轨迹方程是，其轨迹是直线上且不包括点的线段AB。类型4——证明定值问题例5.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。设M为椭圆上任意一点，且，其中。证明：为定值。分析：设A、B、M三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系，再利用方程组、韦达

5、定理、点在椭圆上满足方程等证明定值。证明：设椭圆方程为则直线AB的方程为代入椭圆方程，化简得设，则由题意知与共线，可得：又，则因此，即，则而，于是因此椭圆方程为，即设，由得：即，且因M为椭圆上一点，所以即则而代入（*）式得：，即为定值。类型5——探索点、线的存在性例6.在△ABC中，已知于D，△ABC的垂心H分有向线段所成的比为。设，那么是否存在点H，使成等差数列？为什么？分析：先将转化为代数关系，由此获得动点H的轨迹方程，再将向量的长度关系转化为代数关系，通过解代数方程组获解。解：设，由分点坐标公式得因为

6、H为垂心，所以即整理得，动点H的轨迹方程为假设成等差数列，则即∵H在椭圆上，，P、Q是焦点即由<1>得：联立<2><3>可得：可得，显然满足方程故存在点，使成等差数列。类型6——求相关量的取值范围例7.给定抛物线，F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A、B两点，且，求在y轴上截距的变化范围。分析：设A、B两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出在y轴上的截距，利用函数的单调性求其变化范围。解：设，由得：即由<2>得：因，所以联立<1><3>得：而，所以或当直线垂直于x轴时，，不符合题意。因此直线

7、的方程为或。直线在y轴上的截距为或。由知，在上递减，所以于是直线在y轴上截距的变化范围是。由上可见，解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、乘、数乘向量）或运算律或数量积的意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行、和差、数量积等）转化为代数关系。