例谈平面法向量的几点妙用 专题辅导 不分版本

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1、例谈平面法向量的几点妙用空间角与距离是高考立体几何的主要考查点，传统计算空间角与距离需经过“作、证、算”三个步骤，过程比较繁难，为此，我们引进了空间向量这个有力的工具，给处理角与距离开辟了一条新的路径。这里我们仅就平面法向量在处理空间角与距离的用途谈几点看法。预备知识：如何求平面的法向量。设是平面的一个法向量，是平面内任意两个不共线的向量。根据知，则，。这样可以找出三个坐标x,y,z之间的关系，进而得到一组特解（x,y,z），即可作为的坐标。一.求解点面距离与线面角解法原理：如图1，已知点A是平面外的一点，是平面的一个法向量，点B是平面内一点，作平面于C，则。因为，所以。所以点

2、A到平面的距离。在中，是AB与平面所成的角，是垂线AC与斜线AB的夹角，也分别是的夹角，的夹角（或其补角），有。图1二.求解二面角解法原理：如图2，设二面角的大小为分别是平面M与平面N的法向量，则角与角<>相等或互补，所以图2三.例题已知如图3，直三棱柱中，是侧棱的中点。（1）求证：平面；（2）求与平面ABM所成的角。图3解析：设平面ABM的法向量是，平面的法向量是。（1）要证平面，只要有即可。建立如图所示的空间直角坐标系，则A（），B（0，1，0），M（0，0，），。可知。设，由和，可得。不妨取，则，所以。同理可求得。而，故垂直，即平面平面。（2）（法一）设点在平面ABM内的

3、射影为点H，则在平面ABM内的射影为BH，是与平面ABM所成角，且在中，，，所以与平面ABM所成的角为。（法二）设的夹角为，则可算得。设与平面ABM所成的角为，有。评注：利用向量工具来求解空间角的大小，省去作角与论证这两个步骤，因而降低了处理问题的难度。此外从上面例题两问解法来看，其操作性也是有章可寻的。下面是2006年高考江苏卷中的立体几何解答题，可供读者练笔。在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图4）。将沿EF折起到的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图5）图4图5（1）求证：平面BEP；（2）求

4、直线与平面所成的角的大小；（3）求二面角的大小（用反三角函数值表示）。[答案：（2）；（3）]