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时间：2018-12-17
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1、牵手法向量http://www.DearEDU.com成秋芬在教材中，法向量只有定义“如果向量a与平面垂直，那么向量a叫平面的法向量”。本文说明用法向量解决不少立体几何问题。1.求距离或直线与平面所成的角如图1，OA是平面的斜线，O为斜足，AB垂直于于B，设，n是平面的法向量，则AB是A到平面的距离，设为d，是OA与平面所成的角，且与互余，与相等或互补。则有图1例1.在棱长为1的正方体中，P为顶面的中心。求：（1）点P到面的距离；（2）异面直线与的距离；（3）直线与面所成的角。图2解：建立如图2所示的空间直角坐标系，则（1），，所以面的一个
2、法向量又所以点P到面的距离（2），设由点与向量所确定的平面的一个法向量。又所以与的距离（3）所以即直线与面所成的角为。2.解决面面垂直和二面角问题如图3，设二面角的大小为，且m，n分别是平面的一个法向量，则与相等或互补。图3例2.在棱长为1的正方体中，E、F分别是的中点，求证：平面平面。图4证明：建立如图4所示的空间直角坐标系，则，，，，所以平面ADE的一个法向量，平面的一个法向量。又，所以平面平面。例3.已知正三棱柱，D是AC的中点，，求二面角的大小。图5解：建立如图5所示的空间直角坐标系，设正三棱柱底面正三角形边长为a，侧棱长为b，则，
3、，，所以，，于是面的一个法向量面的一个法向量，由，得，即所以由图易知，二面角是锐角，所以，二面角的大小为。当遇到空间距离、线面角、二面角、垂直关系时，不妨尝试用法向量来解。
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