人教版高三数学三角函数的性质及三角变换知识精讲

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1、高三数学三角函数的性质及三角变换知识精讲一.本周教学内容：三角函数的性质及三角变换基本考点：1.三角函数的图像和性质，以选择题与填空题的形式出，一般一题所涉及的性质在两个或两个以上，在近年的高考中，出题的频率较高。2.三角函数的恒等变换，有关三角函数的恒等变换在函数、不等式、复数以及解析几何、立体几何中有广泛的应用，主要考查同角三角函数关系、诱导公式、三角函数的和、差、倍、半公式。3.三角函数的最值问题、求解三角函数的值域和最值是近几年高考的常考内容，又是三角解答题的主要题型，解决这类问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域

2、、单调性、图象以及三角恒等变形，还常涉及到函数、不等式、方程及几何计算等众多知识，这类问题往往概念性较强，具有一定的综合性和灵活性。【例题选讲】例1.分析：角少、项少、次数低是化简的目标，本题中角不同（有单角、倍角之分），名不同（有正弦、余弦），次数不同（有一次，二次），故可从变角、变名、变次入手。解法一：从“角”入手，“复角化单角”，利用“升幂公式”。解法二：从“名”入手，“异名化同名”。解法三：从“形”入手，采用“配方法”。解法四：从“幂”入手，利用“降幂公式”。小结：寻异求同是三角变换中常用的策略，变名、变角、变次是

3、常用的技巧。熟练应用三角公式是基础。例2.本题主要考查图象的对称性及学生分析问题解决问题的能力。分析：解法一：分析：的方程。解法二：函数y的表达式可化为解法三：函数y的表达式可化为分析：解法四：答案：D说明：解本题时用到了特殊值法、求对称轴法及反验证，一题多解能培养学生思维的广阔性和多样性，从而提高学习效率。例3.（2002年全国高考题文科）如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式。理解及求法。分析：解：（1）由图可看出，这段时间的最大温差是20℃。（2）图

4、象中从6时到14时的图象是函数的半个周期的图象说明：例4.（2003年上海春季高考）在一个周期内的图象如图所示。解：例5.本题考查学生的化归能力及应用三角函数的有界性求最值。分析：把条件化归的方向不同，得到的解法不同。若把条件变为，解法一：说明：当求有界变量的多项式或函数的最值问题时，用三角换元法有时较容易解决，便于三角变换。分析：解法二：说明：当条件和要求的结论有明确的几何意义时，用数形结合法解较直观、简捷。本题也可用方程的观点来解决。例6.海岛O上有一座海拔1000米的山，山顶上设有一个观察站A，上午11时，测得一轮船

5、在岛北60°东C处，俯角30°；11时10分，又测得该船在岛北60°西B处，俯角60°。（1）这船的速度每小时多少千米？（2）如果船的航速不变，它何时到达岛的正西方向？此时所在点E离岛多少千米？解：（1）答：此时所在点E离岛1.5千米。例7.如下图，在我国西部某一地区，有四个农庄A、B、C、D恰好坐落在边长为2km的正方形顶点上，为发展经济，政府决定建立一个使得任何两个农庄都有通道的道路网，道路网由一条中心道及四条支道组成，要求各农庄到中心道的距离相等。问中心道长为何值时，道路网总长度最短？解法一：ykm，解法二：则路网总

6、长【模拟试题】1.的值为（）A.B.C.D.2.设的值是（）A.B.C.D.3.已知，且，那么的值是（）A.B.C.D.4.当时，函数的值域是（）A.B.C.D.5.若A、B是的内角且，则的值为（）A.B.C.或D.或6.如果是第二象限的角，并且满足，那是（）A.第I象限角B.第II象限角C.第III象限角D.可能是第I象限角也可能是第III象限角7.已知函数在同一周期内，当时有最大值2，当时，y有最小值，那么函数的表达式一定是（）A.B.C.D.8.已知：，求函数的最大值及最小值。9.已知：，求10.对于函数11.若的最

7、小值为（1）用a表示的表达式；（2）求能使的a值，并求当a取此值时的最大值。本题主要考查三角函数的值域的应用及分类讨论思想的应用。[参考答案]http://www.DearEDU.com1.C2.C提示：3.B4.D5.A6.C7.C8.解：其中当时，当时，9.解：由两边平方得：，由平方关系，又得而当时，时，，即法二：提示：先求，再求值，可简化对角度范围的讨论。11.分析：因（1）题需求函数最小值的表达式，需将化为同一三角函数的二次函数并进行配方，由于（或）的值域为，故需对a进行论证求的表达式。（2）在（1）的基础上由，求

8、出a的值，代回的解析式再求出的最大值。解：（1）①当即时，则时取最小值，即；②当即时，则时取得最小值，即；③当即时，则时取得最小值，即；综上得：（2）若，则a只能在内，，得，此时；当时，有最大值5。说明：用配方法来解关于或的二次三项式的最大（小）值问题，是一种常用的方法，但必须注意或的值域。