人教版高三数学三角函数式的化简、求值、证明知识精讲

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1、高三数学三角函数式的化简、求值、证明知识精讲一.本周教学内容：三角函数式的化简、求值、证明两角和与差的三角函数的有关公式、三角函数式的化简、三角函数式的求解、三角恒等式的证明、三角形中的求值与证明。基本知识点：（一）基本公式1.两角和与差的三角函数2.二倍角、半角的正弦、余弦、正切3.万能公式4.积化和差与和差化积运用以上公式作三角恒等变换时，既要会“顺用”公式，也还要会“逆用”公式及一些基本的变形使用。（二）化简三角函数式的要求化简三角函数式的类型分为有条件的化简和无条件的化简，基本要求为：（1）所含的三角函数名称或角的种类尽可能少。（2）各项的次数尽可能低，项数尽可能少。（3）一般

2、使分母或根号下不含三角函数式。（4）能求出具体数值的要求出数值。化简三角函数式的基本方法：（1）采用“切化弦”或“弦化切”来减少函数种类。（2）用“配方”或“降幂”的手段逐渐降低各项的次数。（3）用“去分母，去根号及特殊角的三角函数值向化简的目标靠近。（三）有关三角函数式的求值。1.给角求值要求熟练掌握两角和与差的三角函数的基本公式、二倍角、半角的三角函数和积互化，特别要注意逆向使用和差角公式与二倍角公式，以此将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解。2.给值求值给出某角的一种三角函数值，求另外的三角函数值，常用到同角三角函数的基本关系式及其推论，有时还用到“配角”的技巧，解题的

3、关键是找出已知条件与欲求的值之间的角，运算及函数名称的差异，对已知式与欲求式施以适当的变形，以达到解问题的目的。3.给值求角给出三角函数值求角的关键有二：（1）求出要求角的某一三角函数值（通常以正切或余弦为目标函数）。（2）确定所求角在（已求该角的函数值的）相应函数的哪一个单调区间上（注意已知条件和中间所求函数值的正负并用）。（四）有关三角恒等式的证明1.三角恒等式证明基本类型（1）无条件的三角恒等式的证明；（2）有条件的三角恒等式的证明。2.三角恒等式证明的基本思路（1）化繁为简（左边→右边或右边→左边）；（2）左右归一（对等式两边分别进行恒等变形，化到同一个式子从而说明原等式成立）

4、；（3）等价转化（运用综合法或分析法对等式作等价的转换）。3.三角恒等式证明的基本方法对于无条件的三角恒等式的证明常用分析法或综合法，关键是分析等式两边的三角函数式的特征，从角度与函数名称的关系，找出差异，寻找证明的突破口，具体说就是：（1）变角；（2）变函数名称；（3）变结构特征，消去差异。对于有条件的三角恒等式的证明常用方法有代入法，消去法，还有综合法与分析法，关键是观察和分析已知条件和欲证的等式中左右两边三角函数式的区别与联系，灵活使用条件。所谓代入法就是：将条件代入结论的一边证明等于另一边；或将条件分别代入欲证式的两边证明其相等；这样就把有条件的证明转化为无条件的证明，也可以将

5、条件或结论变形后再代入。消去法就是：当已知条件中含有某些参数，通过消去参数达到证明的目的的方法。综合法：从条件出发推导出要证明的等式。分析法：从结论出发，寻找结论成立的充分条件。（五）有关三角形中的求值与证明相关知识：1.三角形的三内角和定理2.正弦定理3.余弦定理特别地当C=90°时，有4.射影定理5.三角形面积公式若a、b、c分别为△ABC的角A、B、C的对边，ha为a边上的高，p为三角形的周长之半，S为三角形的面积，则二.重点、难点：关于三角函数式的化简、求值、恒等证明重点：1是掌握基本公式：（1）两角和与差的正弦、余弦和正切；（2）二倍角、半角的正弦、余弦和正切；（3）万能公式

6、；（4）同角三角函数的基本关系式；（5）常见特殊角（如15°75°）的正弦、余弦值。2是利用这些公式对三角函数式的化简、求值、恒等证明的基本方法和技巧。难点：公式的灵活运用和三角函数公式和性质综合运用。思维的逆向性（如：“配角”、“数”变“式”特别是“1”的运用等）【典型例题】解法1：解法2：作为解单项选择题，越准确迅速的找到答案就越好，“特殊值”法往往是一条“走捷径”的有效方法。所以选B。分析：本题是在有条件的前提下进行化简，关键是如何恰当的使用条件，而被化简式中同时含有三角函数式和非三角函数的字母，但条件也正好是这两者间的一个桥梁。解：及奇偶性与单调性。分析：这是一个考察函数的性质

7、与和、差角公式的综合问题，关键是对函数式进行简化。解：分析：要求非特殊角的三角函数值，必然是向特殊角的三角函数转化或相互抵消非特殊角的三角函数，利用15°-8°=7°这一特点，采用积化和差与和差化积公式求解本题。解法一：解法二：分析：所以可由万能公式直接求解。解法1：解法2：分析：解：说明：所以在确定角的范围时，既要注意已知条件，还要考虑到所得出的三角函数值的符号。分析：那么，化同类项就成为必经之路，可采用升幂、降幂或配方等措施。证法1：证法2