人教版高三数学三角函数知识精讲2

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1、高三数学三角函数知识精讲一.本周教学内容：三角函数任意角的三角函数，三角函数线，同角三角函数关系与诱导公式，三角函数的图像和性质［基本知识点］1°角的概念的推广（1）终边相同的角：{β

2、β＝α＋k·360°，k∈Z}表示与角α终边相同的角的集合。（2）象限角：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角。（3）坐标轴上的角：角的终边落在坐标轴上的角，也称轴限角，这个角不属于任何象限。2°弧度制（1）意义：圆周上弧长等长半径的弧所对的圆心角的大小为1弧

3、度，它将任意角的集合与实数集合之间建立一一对应关系。（2）弧度与角度的互换（3）弧度公式，扇形面积公式：3°任意角的三角函数（1）定义：设P(x，y)是角α的终边上任意一点，且

4、PO

5、＝r，则（2）三角函数的符号与角所在象限有关，如下表所示。象限符号函数IIIIIIIV＋＋－－＋－－＋＋－＋－规律：一全正，二正弦，三双切，四余弦注意：角的范围的讨论及三角函数的定义的理解是三角的重要内容；而度数与弧度数的互化，弦长公式，扇形的面积公式的应用是难点内容，应注意熟练掌握。（1）在讨论角的范围时，不要遗漏坐

6、标轴上的角；终边所在的位置与α终边的位置及k的取值有关，要对k的取值结合α的范围情况进行讨论。（3）三角函数值的大小仅与角有关，而与终边上所取的P点的位置无关，当角的终边所在象限不确定时，要分情况讨论。4°三角函数线（用单位圆中的有向线段表示三角函数值）（如图）设任意角α的终边与单位圆相交于点P，过P作x轴的垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线交角α的终边或其反向延长线于T，则有向线段MP，OM，AT，分别称为角α的正弦线，余弦线，正切线。利用单位圆解三角不等式的一般方法是：<1>用边界值

7、定出角的终边位置。<2>根据不等式定出角的范围。<3>求交集，找单位圆中重叠的部分。<4>写出角的表达式。5°同角三角函数间八个基本关系式，记忆如下图（1）平方关系：（2）倒数关系：（3）商数关系：平方关系——“倒三角形”关系：倒三角形两肩对应的三角函数值的平方和等于下顶点对应的三角函数值的平方。倒数关系——“对角线”关系：对角线两端点所对应的三角函数值互为倒数。乘积关系——“相邻”关系：任一顶点对应的三角函数值等于相邻两顶点对应的三角函数值的乘积。同角关系式的主要应用（1）已知某角的一个三角函数值

8、，求它的其他三角函数值；（2）化简三角函数式；（3）证明三角恒等式。6°诱导公式的各三角函数值，当k为偶数时，得角α的同名三角函数值；当k为奇数时得角α的相应的余函数值，然后放上把α看作锐角时原函数所在象限的符号。为便于记忆，还可用口诀表示上面的概括。“奇变偶不变，符号看象限。”7°正确理解及灵活应用同角三角函数式和诱导公式求值，化简、证明。<1>运用诱导公式求三角函数值的步骤是：任意角→正角→0°~360°→锐角→求值。运用同角关系求值时要注意结合方程思想方法（如考题的“代换技巧”）<2>三角函数

9、式化简的要求：（a）项数尽量少；（b）函数种类尽量少；（c）次数尽量低；（d）尽量不含分母；（e）尽量不带根号；（f）能求出值的求出数值。<3>证明三角恒等式的一般方法：（a）化繁为简：从一边开始证得它等于另一边。（b）左、右同一：证明左、右两边都等于同一个式子（或值）（c）变换结论，即改证与其等价的结论。三角变形技巧常用弦切互化；“1”的代换法，有时用到比例性质。8°三角函数的图像（1）正弦、余弦、正切、余弦函数图像（略）其实质是选取函数的一个周期，将其四等分点（取5个分点）分别找到函数图像的最高

10、点，最低点及“平衡点”可以迅速地画出函数图像。（a）振幅变换（纵向伸缩变换）（b）相位变换（平移变换）（c）周期变换（横向伸缩变换）9°三角函数的性质a.定义域值域b.单调性c.周期性（有关周期函数概念）【例题分析】例1.如果角2α的终边在x轴上方，那么α的范围是（）A.第一象限角的集合B.第一或第二象限角的集合C.第一或第三象限角的集合D.第一或第四象限角的集合解：因为角2α的终边在x轴上方当k是偶数时，α为第一象限角，当k为奇数时，α为第三象限角，故选C。小结：对于这类问题，在写出2α的范围时不

11、要仅局限于(0，2π)之间，而是应加上2kπ才能完整表达其范围。例2.当解：如图，设锐角α的终边交单位圆于点P，过单位圆与x轴正半轴交点A作圆的切线AT交OP于T，并过点P作PM⊥Ox轴，则例3.已知点P(sinα－cosα，tgα)在第一象限，则在[0，2π]内α的取值范围是（）解法一：点P在第一象限，只要故选B解法2：由tgα>0，可知α不能在第二象限，从而排除A、C、D，所以选B例4.已知解法一：解法2：解法3：同1得例5.函数y＝Msin(ωx＋j)(ω>0)