高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布课堂导学案新人教a版选修2

高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布课堂导学案新人教a版选修2

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1、2.4正态分布课堂导学三点剖析一、正态分布的性质【例1】正态总体N(0,1)的概率密度函数是f(x)=.x∈R.(1)求证:f(x)是偶函数;(2)求f(x)的最大值;(3)利用指数函数的性质说明f(x)的增减性.解:(1)对于任意的x∈R,f(-x)===f(x)∴f(x)是偶函数.(2)令z=,当x=0时,z=0,ez=1,∵ez是关于z的增函数,当x≠0时,z>0,ez>1,∴当x=0,即z=0时,取得最小值.∴当x=0时,f(x)=取得最大值.(3)任取x1<0,x2<0,且x1<x2,有x12>x22,∴<-,∴<,

2、∴即f(x1)<f(x2)它表明当x<0时,f(x)是递增的.同理可得,对于任取的x1>0,x2>0,且x1<x2,有f(x1)>f(x2),即当x>0时,f(x)是递减的.二、利用正态分布的密度函数求概率【例2】设ξ服从N(0,1),求下列各式的值:(1)P(ξ>2.35);(2)P(ξ<-1.24);(3)P(

3、ξ

4、<1.54).分析:因为ξ服从标准正态分布,所以可借助于标准正态分布表,查出其值,由于表中只列出x0>0,P(ξ<x0)=Φ(x0)的情形,其他情形需用公式:Φ(-x)=1-Φ(x);P(a<ξ<b)=Φ(b)

5、-Φ(a);和P(ξ>x0)=1-P(ξ<x0)进行转化.解析:(1)P(ξ>2.35)=1-P(ξ<2.35)=1-Φ(2.35)=1-0.9906=0.0094;(2)P(ξ<-1.24)=Φ(-1.24)=1-Φ(1.24)=1-0.8925=0.1075;(3)P(

6、ξ

7、<1.54)=P(-1.54<ξ<1.54)=Φ(1.54)-Φ(-1.54)=2Φ(1.54)-1=0.8764.温馨提示对于标准正态分布N(0,1)来说,总体在区间(x1,x2)内取值的概率P(x1<ξ<x2)=φ(x2)-φ(x1)的几何意义是:

8、介于直线x=x1和x=x2间,x轴上方,总体密度曲线下方的阴影部分面积.三、正态分布的应用【例3】从南部某地乘车前往北区火车站搭汽车有两条线路可走,第一条线路穿过市区,路线较短,但交通拥挤,所需时间(单位为分)服从正态分布N(50,100),第二条线路沿环城路走,线路较长,但意外阻塞较少,所需时间服从正态分布N(60,16),试计算(1)若有70分钟时间可用,应走哪条线路?(2)若有65分钟时间可用,又应走哪条线路?解析:(1)有70分钟时走第一条线路及时赶到的概率为:P(ξ≤70)=Φ()=Φ(2)=0.9772.走第二条线

9、路及时赶到的概率为P(ξ≤70)=Φ()=Φ(2.5)=0.9938.所以,应走第二条线路.(2)只有65分钟可用时,走第一条线路及时赶到的概率为:P(ξ≤65)=Φ()=Φ(1.5)=0.9332.走第二条线路及时赶到的概率为P(ξ≤65)=Φ()=Φ(1.25)=0.8944.所以,应走第一条线路.温馨提示正态分布是自然界中最常见的一种分布,例如测量的误差,人的生理特征的某些数据,学生的考试成绩等,它广泛存在于自然现象及科学技术的许多领域中,在实际应用中,当给定一个标准的正态分布N(0,1)以后,设P(ξ<x)=P,结合标

10、准的正态分布表可求两个方面的问题:一是已知x的值求概率P;二是已知概率P的值求x的值.若ξ—N(μ,σ2),则—N(0,1),从而把一般的正态分布转化为标准的正态分布.各个击破【类题演练1】下列函数是正态密度函数的是()A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=思路分析:对照正态密度函数f(x)=易知B选项正确.此时σ=1,μ=0.答案:B【变式提升1】把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位,得到一条新的曲线C2,下列说法不正确的是()A.曲线C2仍是正态曲线B.曲线C1,C2的最高点的纵坐标相等C.以曲线

11、C2为概率密度曲线的总体的方差比的曲线C2为概率密度曲线的总体的方差大2D.以曲线C2为概率密度设曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2思路分析:正态密度函数为f(x)=,正态曲线对称轴为x=μ,曲线最高点纵坐标为f(μ)=,所以曲线C1向右平移2个单位后,曲线形状没变,仍为正态曲线,且最高点的纵坐标f(μ)没变,从而σ没变,所以方差没变,而平移前后对称轴变了,即μ变了,因为曲线向右平移2个单位,所以均值μ增大2个单位.答案:C【类题演练2】若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1%以下

12、设计的,如果某地成年男子的身高ξ—N(175,62)(单位:cm),则该地公共汽车门的高度应设计为多高?解析:设该地公共汽车门的高度应设计为xcm,则根据题意可知:P(ξ>x)<1%,由于ξ—N(175,62),所以P(ξ>x)=1-P(ξ<x)=1-Φ()<0.01;也就是

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