高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布课堂探究学案新人教a版选修2

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1、2.4正态分布课堂探究探究一正态曲线的应用(1)用待定系数法求正态变量概率密度曲线的函数表达式，关键是确定参数μ和σ的值，并注意函数的形式．(2)当x＝μ时，正态分布的概率密度函数取得最大值，即f(u)＝为最大值，并注意该式在解题中的应用．【典型例题1】如图，是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．思路分析：给出一个正态曲线就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差以及概率密度函数的解析式．解：从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20，＝，则σ＝.所以概率密度函数的解析式

2、是f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.规律总结利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x＝μ，另一是最值，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式．探究二正态分布下的概率计算充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解．(1)熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．(2)p(x＜a)＝1－p(x≥a)；p(x＜μ－a)＝p(x＞μ＋a)．【典型例题2】设ξ～N(1,4)，试求：(1)P(－1＜ξ≤3)；(2)P(3＜ξ≤5)；(3)P(ξ≥5)

3、．思路分析：首先确定μ，σ，然后根据正态曲线的对称性和P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544进行求解．解：∵ξ～N(1,4)，∴μ＝1，σ＝2.(1)P(－1＜ξ≤3)＝P(1－2＜ξ≤1＋2)＝P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.6826.(2)∵P(3＜ξ≤5)＝P(－3＜ξ≤－1)，∴P(3＜ξ≤5)＝[P(－3＜ξ≤5)－P(－1＜ξ≤3)]＝[P(1－4＜ξ≤1＋4)－P(1－2＜ξ≤1＋2)]＝[P(μ－2σ＜x≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜x≤μ＋σ)]＝×(0.9544－0.6826)＝0.1359.(3)∵P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)，

4、∴P(ξ≥5)＝[1－P(－3＜ξ≤5)]＝[1－P(1－4＜ξ≤1＋4)]＝[1－P(μ－2σ＜x≤μ＋2σ)]＝×(1－0.9544)＝0.0228.规律总结求正态总体在某个区间上取值的概率，要充分利用正态曲线的对称性和正态分布的三个常用数据．探究三正态分布的应用求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：(1)根据题目中给出的条件确定p的值．(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；(3)利用上述区间求出相应的概率．【典型例题3】某厂生产的圆柱形零件的外径X～N(4,0.25)．质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽

5、查一件，测得它的外径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？思路分析：判断某批产品是否合格，主要运用统计中假设检验的基本思想．欲判定这批零件是否合格，由假设检验的基本思想可知，关键是看随机抽查的一件产品的尺寸是在(μ－3σ，μ＋3σ)内，还是在(μ－3σ，μ＋3σ)之外．解：由于圆柱形零件的外径X～N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(4－3×0.5，4＋3×0.5)即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂生产的这批

6、产品是不合格的．规律总结在解决有关问题时，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称为3σ原则，如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况．探究四易错辨析易错点　混淆均值与标准差【典型例题4】把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位长度，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是(　　)A．曲线C2仍是正态曲线B．曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等C．以曲线C2为正态曲线的总体的方差比以曲线C1为正态曲线的总体的方差大2D．以曲线C2为正态曲线的总体的期望比以曲线C1为正态曲线的总体的期望大2错解：D错因分析：

7、把正态密度函数中μ，σ的意义混淆了．正解：正态密度函数为f(x)＝，正态曲线的对称轴x＝μ，曲线最高点的纵坐标为f(μ)＝.所以曲线C1向右平移2个单位长度后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标f(μ)没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位长度，所以期望值μ增大了2个单位长度．答案：C