高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布问题导学案新人教a版选修2

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1、2.4　正态分布问题导学一、正态曲线的图象活动与探究1如图所示的是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．迁移与应用如图是正态分布N(μ，σ)，N(μ，σ)，N(μ，σ)(σ1，σ2，σ3＞0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　)A．σ1＞σ2＞σ3B．σ3＞σ2＞σ1C．σ1＞σ3＞σ2D．σ2＞σ1＞σ3(1)用待定系数法求正态变量概率密度曲线的函数表达式，关键是确定参数μ和σ的值，并注意函数的形式．(2)当x＝μ时，正态分布的概率密度函数取得最大值，即f(μ)＝为

2、最大值，并注意该式在解题中的应用．二、利用正态曲线的对称性求概率活动与探究2已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X＜4)＝0.84，则P(X≤0)＝(　　)A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84迁移与应用1．若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ＜－1.96)＝0.025，则P(

3、ξ

4、＜1.96)＝(　　)A．0.025B．0.050C．0.950D．0.9752．设X～N，则P(－1＜X＜1)的值为________．充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解．(1)熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关

5、于x＝μ对称的区间上概率相等．(2)P(X＜a)＝1－P(X≥a)；P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．三、正态分布的应用活动与探究3在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100]间的考生大约有多少人？迁移与应用为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布

6、密度曲线如图所示．若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数是(　　)A．997B．954C．819D．683求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：(1)根据题目中给出的条件确定μ，σ的值；(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；(3)利用上述区间求出相应的概率．答案：课前·预习导学【预习导引】1．(1)φμ，σ(x)＝　正态曲线(2)φμ，σ(x)dx预习交流1　(1)提示：参数μ反映随机变量取值的平均水平的特征数，

7、即若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ．同理，参数σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．(2)提示：写成标准式φμ，σ(x)＝，∴μ＝－3，σ＝．2．φμ，σ(x)dx　正态分布　N(μ，σ2)　X～N(μ，σ2)3．(1)上方　不相交　(2)x＝μ　(3)x＝μ　(4)1　(5)x轴　(6)瘦高　矮胖预习交流2　提示：正态分布在x＝μ对称的区间上概率相等，则C＝μ．4．φμ，σ(x)dx　0.6826　0.9544　0.99745．3σ原则预习交流3　(1)提示：首先找出服从正态分布时μ，σ的值，再利用3σ原则

8、求某一个区间上的概率，最后利用在关于x＝μ对称的区间上概率相等求得结果．(2)提示：由题意知μ＝4，σ＝2，∴P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝P(2＜X≤6)＝0.6826．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1　思路分析：给出一个正态曲线就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差以及解析式．解：从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20，＝，则σ＝．所以概率密度函数的解析式是f(x)＝，x(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2．迁移与应用　A活动与探究2

9、　思路分析：画出正态曲线，结合其意义及特点求解．A　解析：由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X＜4)＝1－0.84＝0.16．迁移与应用　1．C　解析：由已知正态曲线的对称轴为x＝μ＝0，则P(ξ＜－1.96)＝P(ξ＞1.96)＝0.025，∴P(

10、ξ

11、＜1.96)＝1－P(ξ≥1.96)－P(ξ≤－1.96)＝0.950．2．0．9544　解析：由题意可知，μ＝0，σ＝，故P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝P(－1＜X＜1)＝0.9544．活动与探究3　思路分析：正态分布已

12、经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．解：∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝＝10．(1)由于正态变量在区间(μ－2σ