高中数学第二章概率2.4正态分布课堂导学案新人教b版选修2

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1、2.4正态分布课堂导学三点剖析一、利用标准正态表求正态总体在某一区间内的概率【例1】设测量一条道路长度的误差x（单位：m)服从正态分布N（-5，202），求：（1）误差的绝对值不超过30m的概率；（2）测得的长度小于道路真实长度的概率；（3）测得的长度比道路真实长度大35m的概率.（查表，可得Φ（1.75）=0.95994,Φ(1.25)=0.8944,Φ(2)=0.9772,Φ(0.25)=0.5987)解析：（1）P(

2、x

3、≤30)=P(-30≤x≤30)=Φ()-Φ()=Φ(1.75)-Φ(-

4、1.25)=Φ(1.75)+Φ(1.25)-1=0.85434.(2)由误差的定义：测量值=真实值+误差.可见，题意要求的概率为P（x<0）=Φ（）=Φ(0.25)=0.5987.(3)题意要求的概率为P（x>35）=1-P(x≤35)=1-Φ()=1-Φ(2)=0.0228.温馨提示求正态分布在某一区间的概率应先转化为标准正态分布.二、利用正态曲线的性质解题【例2】设任一正态总体N（μ,σ2）中取值小于x的概率为F（x)，标准正态总体N（0，1）中，取值小于x0的概率为Φ（x0）.(1)证明F（x

5、)可化为Φ（x0）计算.（2）利用正态曲线的性质说明：当x取何值时，正态总体N（μ,σ2）相应的函数f(x)=(x∈R)有最大值，其最大值是多少？（1）证明：由正态总体N（μ,σ）的概率密度函数可知F(x)=Φ（），即x0=.(2)解析：由正态曲线的单调性和对称性可知，正态总体N（μ,σ2）的概率密度函数f(x)在x=μ时，取到最大值.温馨提示注意正态曲线中μ,σ的几何意义.三、小概率事件【例3】某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ服从正态分布N（4,0.25），如果一批产品的合格率达到99.7%以上就认

6、为这批产品是合格的.质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽取一件，测得它的外直径为5.7cm,试问该厂生产的这批零件是否合格？思路分析：要说明这批零件是否合格，就是要说明从这批零件中随机地取出一件，其尺寸是否落在规定的范围内.由正态分布的性质知，总体中个体取值的概率为99.7%所对应的区间为（μ-3σ,μ+3σ）,故只需判断5.7是否属于该区间即可.解：∵ξ~N（4，0.25），由正态分布的性质知，ξ的取值落在区间（μ-3σ,μ+3σ）之内的概率为99.7%.由于μ=4,σ=0.5,∴μ-3σ=

7、4-3×0.5=2.5,μ+3σ=4+3×0.5=5.5,即合格品的产品尺寸的取值范围是（2.5,5.5）.∵5.7(2.5,5.5)，这说明在一次试验中小概率事件发生了，∴可以认为这批零件是不合格的.温馨提示发生概率一般不超过5%的事件，称为小概率事件，它在一次试验中几乎不可能发生.各个击破类题演练1某学校学生的数学竞赛成绩ξ服从正态分布N（42，36），如某个学生得48分，求成绩排在这名学生以后的学生占学生总数的百分比.解析：由ξ~N(42,36),则η=~N（0，1）.因此，P（ξ<48)=F

8、(48)=Φ()=Φ(1)≈0.84.因而有84%的学生成绩排在得48分的学生之后.变式提升1某县农民平均收入服从μ=500元，σ=20元的正态分布.求：（1）此县农民的年均收入在500~520元之间的人数的百分比.（2）此县农民年均收入超过540元的人数的百分比.解析：（1）∵正态曲线关于直线x=500对称，∴P（500540)=P(X<460)=

9、［P(X>540)+P(X<460)］=［1-P(460c),求c.解析：∵正态分布中，落在数学期望μ两边的概率相等，∴c=μ.变式提升2如图为某地成年男性体重的正态曲线图，请写出其正态分布密度函数，并求P（

10、X-72

11、<20）.解析：由图可知，μ=72,σ=10,①φμ,σ(x)=π·10,x∈(-∞,+∞),②P(

12、X-72

13、<20)=P(

14、X-μ

15、<2σ)=P

16、(μ-2σ