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时间:2018-12-17
《高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义导学案新人教a版必修4》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.2.1 向量加法运算及其几何意义1.通过位移、力的合成了解向量加法定义的由来.2.掌握向量加法的定义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.3.掌握向量加法的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算,初步掌握向量加法的实际应用.1.向量的加法(1)定义:求两个向量____的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个______.(2)三角形法则:如图甲所示,已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作=a,=b,则向量______叫做向量a与b的和,记作a+b.这种求______的方法叫做向量加法的三角形法则.(3)平行四边形法则:已
2、知两个不共线向量a,b(如图乙所示),作=a,=b,则A,B,D三点不共线,以,为邻边作平行四边形ABCD,则向量______=a+b,这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.①向量加法的多边形法则:n个向量经过平移,顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合,组成一组向量折线,这n个向量的和等于折线起点到终点的向量.这个法则叫做向量加法的多边形法则.多边形法则实质就是三角形法则的连续应用.②三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.(4)规定:a+0=0+a=a.(5)结论:
3、a+b
4、≤
5、a
6、+
7、b
8、.【做一做1-1】+等于( )A
9、.B.C.D.【做一做1-2】在平行四边形ABCD中,+等于( )A.B.C.D.【做一做1-3】在边长为1的正方形ABCD中,
10、++
11、等于( )A.0B.1C.D.32.向量加法的运算律交换律a+b=________结合律(a+b)+c=________【做一做2】化简++=__________.答案:1.(1)和 向量 (2) 向量和 (3)【做一做1-1】C【做一做1-2】A【做一做1-3】B
12、++
13、=
14、+
15、=
16、
17、=1.2.b+a a+(b+c)【做一做2】0 ++=(+)+=+=0.向量加法与实数加法的异同剖析:讨论两种运算的异同,主要从它们的
18、运算结果、运算律、运算的意义来分析.(1)运算结果:向量的和还是向量,实数的和还是实数.(2)运算律:向量的加法与实数的加法都满足交换律与结合律;向量加法的交换律可以用平行四边形法则来验证;向量加法的结合律可以用三角形法则验证,如下:如图,作=a,=b,=c,连接AC,AD,则=a+b,=b+c.∵=+=a+(b+c),=+=(a+b)+c,∴(a+b)+c=a+(b+c).(3)运算的意义:向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和平行四边形法则;实数加法的意义是实数的加法法则.由此可见,向量的加法与实数的加法不相同,其根本原因是向量不但有大小并且还有方向
19、,而实数仅有大小,是数量,所以向量的运算不能按实数的运算来进行.题型一作向量的和【例1】如图所示,已知向量a,b,c,试作出向量a+b+c.分析:本题是求作三个向量的和向量的问题,首先应作出两个向量的和,由于这两个向量的和仍为一个向量,然后再作出这个向量与另一个向量的和,方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则.反思:应用三角形法则、平行四边形法则作向量和时需注意的问题:①三角形法则可以推广到n个向量求和,作图时要求“首尾相连”.即n个向量首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量.②平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图
20、时要求两个向量的起点重合.③当两个向量不共线时,两个法则实质上是一致的,三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半,在多个向量的加法中,利用三角形法则更为简便.如本题作法1比作法2简单.题型二化简含有向量的关系式【例2】化简下列各式:(1)++++;(2)(+)++.分析:首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连,然后利用向量加法的结合律求和.反思:化简含有向量的关系式一般有两种方法:①利用几何方法通过作图实现化简;②利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相接”,通过向量加法的结合律求和,有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量,如本题.
21、题型三向量加法的实际应用【例3】如图,在重300N的物体上拴两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°,求当整个系统处于平衡状态时,两根绳子拉力的大小.反思:解决与向量有关的实际应用题,应本着如下步骤解题:→→→→→→题型四易错辨析易错点 用平行四边形法则作平行向量的和【例4】如图,已知平行向量a,b,求作a+b.错解:作=a,=b,则=a+b就是求作的向量.错因分析:因为两向量反向,和向量的长度应为
22、b
23、-
24、a
25、,方向应与向量b的方向相同.答案:【例1】解:作法1:如图1所示,首先在平面内任取一点O,作向量=a,接着作向量=b,
26、则得向量=a+b;然后作向量=c,则向量=(a+b)
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