2018年秋高中数学 平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义学案

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1、2.2.1　向量加法运算及其几何意义学习目标：1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律．(难点)2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算．(重点)3.数的加法与向量的加法的联系与区别．(易混点)[自主预习·探新知]1．向量加法的定义定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量a，规定0＝a＋0＝a.2．向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量A叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝平行四边形法则已知两个不共线向量a，b，作＝a，

2、＝b，以，为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量A＝a＋b.3．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．[基础自测]1．思考辨析(1)a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.(　　)(2)＋＝0.(　　)(3)求任意两个非零向量的和都可以用平行四边形法则．(　　)[解析]　(1)正确．(2)正确．(3)错误．平行四边形法则只适用于求两个不共线的向量的和．[答案]　(1)√　(2)√　(3)×2.＋＋等于(　　)A.　　　　　　　　B.C.D.C　[＋＋＝＋＋＝.]3．如图221，

3、在平行四边形ABCD中，＋＝________.图221　[由平行四边形法则可知＋＝.][合作探究·攻重难]向量加法运算法则的应用[探究问题]1．求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？提示：(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等．(2)三角形法则，对应的物理模型是位移合成等．2．设A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情况下，＋＋＋…＋的运算结果是什么？提示：将三角形法则进行推广可知＋＋＋…＋＝.　(1)如图222，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段D

4、E延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：图222①＋＝________；②＋＝________；③＋＋＝________.(2)①如图223甲所示，求作向量和a＋b.②如图223乙所示，求作向量和a＋b＋c.甲　　　　　　乙图223[思路探究]　(1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量，并进行代换，然后用三角形法则化简．(2)用三角形法则或平行四边形法则画图．(1)①　②　③　[(1)如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：①＋＝＋＝.②＋＝＋＝

5、.③＋＋＝＋＋＝.(2)①首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示．②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求．]母题探究：1.在例1(1)条件下，求＋.[解]　因为BC∥DF，BD

6、∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，所以＋＝.2．在例1(1)图形中求作向量＋＋.[解]　过A作AG∥DF交CF的延长线于点G，则＋＝作＝，连结，则＝＋＋，如图所示．[规律方法]　1.向量求和的注意点：(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用．(2)两个向量的和向量仍是一个向量．(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．2．利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量．提醒：(1)当两个向量不共线时，向

7、量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．向量加法运算律的应用　(1)设a＝(＋)＋(＋)，b是一个非零向量，则下列结论正确的有________．(将正确答案的序号填在横线上)①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④

8、a＋b

9、＜

10、a

11、＋

12、b

13、.(2)如图224，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：图224①＋＋；②＋＋＋.[思路探究]　根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．[解]

14、　(1)由条件得：(＋)＋(＋)＝0＝a，故选①③.(2)①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝；②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.[规律方法]　向量加法运算律的意义和应用原则：(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.,实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算