高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义互动课堂学案新人教a版必修4

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1、2.2.1向量加法运算及其几何意义互动课堂疏导引导1.向量求和的三角形法则已知向量a、b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的和向量，记作a+b，即a+b=+=.这种求两个向量和的方法，叫做向量加法的三角形法则.（如图2-2-1所示）图2-2-1疑难疏引①由向量求和的三角形法则可知，两个向量的和仍为向量.②向量求和的三角形法则的本质是两个加数向量的首尾相接，和向量是从一个向量的起点指向另一个向量的终点.③当两个向量共线（平行）时，向量加法的三角形法则同样适用.2.向量加法的运算性质（1）对于零向量与任一向量a的和有a+0=0+a=a.(2)向量加法的交换律：a

2、+b=b+a.简证如下：①若a、b不共线，作=a,=b,则A、B、C三点不共线，=a+b.作=b，连结DC，（如图2-2-2），由于=，∴四边形ABCD为平行四边形.∴DCAB.∴

3、

4、=

5、

6、=

7、a

8、,又与同向，∴=，此时有b+a=+=,即有a+b=b+a.②当a与b共线且同向时，a+b及b+a都与a同向，且

9、a+b

10、=

11、a

12、+

13、b

14、；

15、b+a

16、=

17、b

18、+

19、a

20、.a+b与b+a同向，故有a+b=b+a.③当a与b共线且反向时，不妨设

21、a

22、＞

23、b

24、,a+b与a同向，且

25、a+b

26、=

27、a

28、-

29、b

30、,b+a与a同向，且

31、b+a

32、=

33、a

34、-

35、b

36、.故a+b与b+a同向，因此a+b=b+a

37、.综合①②③知a+b=b+a.图2-2-2图2-2-3(3)向量加法的结合律：（a+b）+c=a+(b+c).验证如下：如图2-2-3.（a+b）+c=+=,a+(b+c)=.∴(a+b)+c=a+(b+c).疑难疏引向量加法的运算律同实数加法的运算律一致,都满足交换律与结合律.由于向量的加法具有这两个运算律,因此，对于多个向量加法的运算就可以按照任意的次序与组合来进行了.3.向量求和的平行四边形法则已知两个不共线的向量a，b，作=a，=b，则A、B、D三点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量=a+b.这个法则叫做向量求和的平行四边形法则.疑难疏引两个向量

38、不共线时，向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的，当两向量为共线向量时，三角形法则同样适用，而平行四边形法则就不适用了.因此在选用两个法则进行向量求和时应熟练、灵活.4.向量加法的实际应用向量的加法在日常生产、生活中应用广泛，主要体现在求两个或多个向量的和向量，可选用灵活的法则解决.案例1一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，该船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度.【探究】本题是用向量解决物理问题，可先用向量表示速度，再用向量的加法合成速度即可.图2-2-4【解】如图2-2-4.表示水流速度，表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，表示船实际航

39、行的速度，∠AOC=30°,

40、

41、=5km/h.∵四边形OACB为矩形，∴

42、

43、==10.∴水流速度大小为km/h,船实际速度为10km/h，与水流速度的夹角为30°.【规律总结】用向量解决实际问题的步骤为：①用向量表示实际量；②进行向量运算；③回扣实际问题，作出回答.活学巧用1.已知a∥b，试用向量加法的三角形法则作出向量a+b.图2-2-5解析：a∥b时，也可用向量加法的三角形法则求出其和向量.（1）作=a，=b.则a+b=+=.如图2-2-6所示.图2-2-6图2-2-7(2)作=a，=b，则a+b=+=，如图2-2-7所示.2.已知非零向量a，b，试说明

44、a+b

45、与

46、a

47、

48、+

49、b

50、的大小.解析：解答本题可用向量加法的三角形法则作出图形辅助解决，并且要注意分类讨论.（1）当a，b不共线时，根据向量求和的三角形法则显然有

51、a+b

52、＜

53、a

54、+

55、b

56、.(2)当a，b方向相同时，有

57、a+b

58、=

59、a

60、+

61、b

62、.（3）当a，b方向相反时，有

63、a+b

64、＜

65、a

66、+

67、b

68、.综上有

69、a+b

70、≤

71、a

72、+

73、b

74、.3.在矩形ABCD中，等于（）A.+B.+C.+D.+解析：画出图形，帮助分析.若对向量求和的本质理解深刻了，也可直接按照向量加法的交换律运算.显然D选项中，+=+=.而其他的选项运算的结果不是.答案：D4.化简下列各式.（1）++；（2）++；（3）++++.

75、分析：根据向量加法的运算律，对于多个向量求加法时，可以按照需要将向量组合，使之构成首尾相接，进行运算.第（1）个可以使用结合律转化为求++的和；第（2）个则可以直接运算；第（3）个各向量首尾相接，恰好构成一个向量链，因此可直接计算.解：（1）++=++=.(2)++=0.(3)++++=.5.如图2-2-8,在ABCD中，已知有以下4个等式：①+=;②++=;③++=;④++=0,其中正确的式子有___________个.（）A.1B.2C.3D.4解析：本题要结合图形及向量加法的运算律对选项中的等式一