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《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程课堂导学案新人教b版选修2》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.2.1椭圆及其标准方程课堂导学三点剖析一、求椭圆的标准方程【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和是10;(2)两个焦点的坐标是(0,-2)、(0,2),并且椭圆经过点(,).解:(1)∵椭圆的焦点在x轴上,∴设它的标准方程为=1(a>b>0).∵2a=10,2c=8,∴a=5,c=4.∴b2=a2-c2=52-42=9.∴所求椭圆的标准方程为=1.(2)∵椭圆的焦点在y轴上,∴设它的标准方程为=1(a>b>0).由
2、椭圆的定义知,2a=+=2,∴a=.又c=2,∴b2=a2-c2=10-4=6.∴所求椭圆的标准方程为=1.温馨提示求椭圆的标准方程就是求a2及b2(a>b>0),并且判断焦点所在的坐标轴.当焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为=1;当焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为=1.二、应用椭圆的定义解题【例2】一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程.解析:两定圆的圆心半径分别为O1(-3,0),r1=1;O2(3,0),r2=9设动圆圆心为M
3、(x,y),半径为R由题设条件知:
4、MO1
5、=1+R,
6、MO2
7、=9-R∴
8、MO1
9、+
10、MO2
11、=10由椭圆的定义知:M在以O1,O2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16故动圆圆心的轨迹方程为=1.温馨提示两圆相切时,圆心之间的距离与两圆的半径有关,据此可以找到动圆圆心满足的条件.三、利用椭圆的标准方程解题【例3】椭圆5x2+ky2=5的一个焦点为(0,2)则k=_____________.解析:将椭圆方程化为标准方程可得x2+=1,由其中一个焦点为(0,2),知a2
12、=,b2=1,且a2-b2=c2即-1=4得k=1.温馨提示先将椭圆方程化为标准形式,再由其中一个焦点确定a2,b2,最后通过a、b、c之间的关系确定k的值.各个击破类题演练1求经过两点P1(,),P2(0,)的椭圆的标准方程.解法一:因为焦点位置不确定,故应考虑两种情形.(1)焦点在x轴上时:设椭圆的方程为+=1(a>b>0).依题意知解得.∵<,∴方程组无解.(2)焦点在y轴上时:设椭圆的方程为+=1(a>b>0).依题意可得,解得.∴所求椭圆的标准方程为=1.解法二:设所求椭圆方程的一般式为A
13、x2+By2=1(A>0,B>0).依题意可得解得∴所求椭圆的方程为5x2+4y2=1.∴标准方程为=1.变式提升1椭圆短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为,求此椭圆的标准方程.解析:由题意知:∴∴b2=9∴所求椭圆的标准方程为=1类题演练2若一个动点P(x,y)到两个定点A(-1,0),A′(1,0)的距离和为定值m,试求P点的轨迹方程.解:∵
14、PA
15、+
16、PA′
17、=m,
18、AA′
19、=2,
20、PA
21、+
22、PA′
23、≥
24、AA′
25、,∴m≥2.(1)当m=2时,P点的轨迹就是线段AA′.
26、∴其方程为y=0(-1≤x≤1).(2)当m>2时,由椭圆的定义知,点P的轨迹是以A、A′为焦点的椭圆.∵2c=2,2a=m,∴a=,c=1,b2=a2-c2=-1.∴点P的轨迹方程为=1.变式提升2已知B、C是两个定点,
27、BC
28、=6,且△ABC的周长等于16,求顶点A的轨迹方程.解析:如右图,建立坐标系,使x轴经过点B、C,原点O与BC的中点重合.由已知
29、AB
30、+
31、AC
32、+
33、BC
34、=16,
35、BC
36、=6,有
37、AB
38、+
39、AC
40、=10,即点A的轨迹是椭圆,且2c=6,2a=16-6=10.∴c=3,a=
41、5,b2=52-32=16.但当点A在直线BC上,即y=0时,A、B、C三点不能构成三角形,∴点A的轨迹方程是=1(y≠0).类题演练3方程x=所表示的曲线为_________________.答案:表示椭圆在y轴右侧的部分(包括端点)变式提升3椭圆+=1与+=1(0