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《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆的标准方程学案新人教b版选修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.2.1 椭圆的标准方程1．理解椭圆的定义．2．掌握椭圆的标准方程的定义．1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的__________等于常数(__________)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个______叫做椭圆的焦点，________的距离叫做椭圆的焦距．在椭圆的定义中，(1)当常数等于
2、F1F2
3、时，动点的轨迹是线段F1F2.(2)当常数小于
4、F1F2
5、时，动点的轨迹不存在．【做一做1－1】到两定点F1(－5,0)和F2(5,0)的距离之和为10的点M的轨迹是( )A．椭圆B．线段C．圆D．以上都不对【做一做1－2】已知椭圆上一点P到椭圆两个焦点F1，
6、F2的距离之和等于10，且椭圆上另一点Q到焦点F1的距离为3，则点Q到焦点F2的距离为( )A．2B．3C．5D．72．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程________________________________焦点坐标________________________________a，b，c的关系__________________________由求椭圆的标准方程的过程可知：只有当椭圆的两个焦点都在坐标轴上，且关于原点对称时，才能得到椭圆的标准方程．反之亦成立．【做一做2】椭圆＋＝1的焦点坐标为______．1．椭圆的定义剖析：(1)用集合语言叙述
7、为：点集P＝{M
8、
9、MF1
10、＋
11、MF2
12、＝2a,2a＞
13、F1F2
14、}；(2)在椭圆的定义中，若定长不大于
15、F1F2
16、，则动点轨迹不是椭圆．如：动点P到两定点F1(1,0)和F2(－1,0)的距离之和为1.此时定长1小于
17、F1F2
18、，由平面几何知识知这样的点不存在．2．椭圆的标准方程剖析：＋＝1(a＞b＞0)为椭圆的标准方程，其焦点在x轴上，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，且a，b，c满足a2＝b2＋c2.当焦点在y轴上时，标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)，且a，b，c满足a2＝b2＋c2(当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标
19、轴上时，椭圆的方程才是标准形式)．在椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，a，b，c恰构成一个直角三角形的三条边，都是正数，a是斜边，所以a＞b，a＞c且a2＝b2＋c2，其中c是焦距的一半，叫做半焦距．方程Ax2＋By2＝C(A，B，C均不为0)可化为＋＝1，即＋＝1.只有A，B，C同号，且A≠B时，方程表示椭圆．当＞时，椭圆的焦点在x轴上；当＜时，椭圆的焦点在y轴上．题型一利用椭圆的定义解题【例1】设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件
20、PF1
21、＋
22、PF2
23、＝a(a＞0)，则动点P的轨迹为( )A
24、．椭圆B．线段C．椭圆或线段或不存在D．不存在反思：凡涉及动点到两定点距离和的问题，首先要考虑它是否满足椭圆的定义
25、MF1
26、＋
27、MF2
28、＝2a(2a＞
29、F1F2
30、)，再确定其轨迹．一定要注意2a与两定点间距离的大小关系．题型二求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)．分析：应用待定系数法求椭圆的标准方程，注意“定位”与“定量”的确定．反思：(1)椭圆的焦点在坐标轴上且两焦点的中点为坐标原
31、点时，椭圆的方程是标准的．(2)求椭圆的标准方程分两步：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴，写出椭圆的标准方程．(3)已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴．题型三与椭圆有关的轨迹问题【例3】若一个动点P(x，y)到两个定点A(－1,0)，A′(1,0)的距离和为定值m，试求点P的轨迹方程．分析：∵
32、PA
33、＋
34、PA′
35、＝m，
36、AA′
37、＝2，
38、PA
39、＋
40、PA′
41、≥
42、AA′
43、，∴m≥2，然后分m＝2和m＞2两种情况来讨论，即可求轨迹
44、方程．反思：在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时，由椭圆的定义知其轨迹是椭圆，然后写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法．题型四易错题型【例4】若方程＋＝1表示椭圆，求k的取值范围．错解：由题意知，得3＜k＜5.错因分析：错解中没有注意椭圆方程中的a＞b＞0这一条件，当a＝b时，方程并不表示椭圆．反思：解椭圆的标准方程等相关问题时，常见的误区有：(1)忽略定义中的条件2a＞
45、F1F2
46、；(2)在没有明确椭圆焦点位置的情况下，椭圆的标准方程可能有两个；(3)忽略标准
