高中数学第二章参数方程2.3参数方程的应用第2课时圆椭圆的参数方程的应用学案苏教版选修4

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1、圆、椭圆的参数方程的应用1．能用曲线的参数方程去研究曲线的性质．2．会用参数法解决圆锥曲线中的最值、定值等问题．[基础·初探]1．圆的参数方程圆的参数方程的常见形式为(α为参数)．其中，参数α的几何意义是以圆心A(a，b)为顶点，且与x轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P所在半径成的角．2．椭圆的参数方程椭圆的参数方程的常见形式为(θ为参数)．[思考·探究]1．椭圆的参数方程与圆的参数方程有什么区别和联系？【提示】　椭圆＋＝1(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝r2普通方程都是平方和等于1的形式，故参数方程都运用了三角代换法，只是参数方程的常数不同．2．椭圆的参数方程中参数φ

2、的几何意义是什么？【提示】　从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令椭圆＋＝1可以变成圆x′2＋y′2＝1.利用圆x′2＋y′2＝1的参数方程(φ是参数)可以得到椭圆＋＝1的参数方程(φ是参数)．因此，参数φ的几何意义应是椭圆上任意一点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为离心角)，而不是OM的旋转角，如图．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：______________________________________

3、_______________疑问2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问4：_____________________________________________

4、________解惑：_____________________________________________________圆的参数方程的应用　在圆x2＋2x＋y2＝0上求一点，使它到直线2x＋3y－5＝0的距离最大．【自主解答】　圆的方程x2＋2x＋y2＝0可化为(x＋1)2＋y2＝1，所以设圆的参数方程为设P(－1＋cosθ，sinθ)，则点P到直线2x＋3y－5＝0的距离为d＝＝＝(其中sinα＝，cosα＝)．当sin(θ＋α)＝－1，θ＋α＝，即θ＝－α时，d取到最大值，此时x＝－1＋cosθ＝－1－，y＝sinθ＝－，即点P(－1－，－)即为所求．[再练一题

5、]1．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，求x2＋2xy＋3y2的最大值和最小值．【解】　圆x2＋y2＝1的参数方程为(α为参数)．∴x2＋2xy＋3y2＝cos2α＋2cosαsinα＋3sin2α＝＋sin2α＋3×＝2＋sin2α－cos2α＝2＋sin(2α－)．则当α＝kπ＋(k∈Z)时，x2＋2xy＋3y2取最大值为2＋，当α＝kπ－(k∈Z)时，x2＋2xy＋3y2取最小值为2－.椭圆参数方程的应用　已知实数x，y满足3x2＋2y2＝6x，求：(1)x＋y的最大值；(2)x2＋y2的取值范围．【导学号：98990035】【思路探究】　本题表面上看是代数题，

6、但由于方程3x2＋2y2＝6x可以表示一个椭圆，故可以用椭圆的参数方程来解．【自主解答】　方程3x2＋2y2＝6x，即(x－1)2＋＝1.设(1)x＋y＝1＋cosθ＋sinθ＝1＋sin(θ＋α)(其中tanα＝，θ∈[0,2π))．所以x＋y的最大值为1＋.(2)x2＋y2＝(1＋cosθ)2＋(sinθ)2＝1＋2cosθ＋cos2θ＋sin2θ＝－cos2θ＋2cosθ＝－(cosθ－2)2＋，因为cosθ∈[－1,1]，所以0≤x2＋y2≤4.利用椭圆的参数方程(φ是参数)，将问题转化为三角函数问题处理．[再练一题]2．(湖北高考)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参

7、数方程为(φ为参数，a>b>0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．【解析】　由已知可得椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)．由ρsin＝m可得ρsinθ＋ρcosθ＝m，即直线的普通方程为x＋y＝m.又圆的普通方程为x2＋y2＝b2，不妨设直线l经过椭圆C的右焦点(c,0)，则得c＝m.又因为直线l与圆O相切，所以＝b