高中数学4.4参数方程4.4.3参数方程的应用知识导航学案苏教版选修4

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1、4.4.3参数方程的应用自主整理1．圆的标准方程为______________，则其参数方程为______________（θ为参数，θ∈［0,2π),几何意义为旋转角）．答案:(x-a)2+(y-b)2=r22．椭圆的参数方程为______________（θ为参数，θ∈［0,2π),几何意义为离心角）．答案:3．直线的参数方程为______________（l为参数，l的几何意义是有向线段P0P的数量）．答案:4．直线参数方程一般式：（t为参数）．其中（1）k＝______________；（2）设直线上两点A、B对应的参数分别为t1、t2，则

2、AB

3、＝______________

4、.答案:(1)(2)

5、t1-t2

6、高手笔记1．参数方程的应用比较广泛，可以用来解决许多几何问题、三角函数问题、物理学问题，所以首先要正确理解曲线的参数方程的概念，掌握直线、椭圆、圆以至于抛物线、双曲线等曲线的参数方程，要深刻理解其中的参数的几何意义．2．参数方程的最突出的优点是曲线上的动点的坐标(x,y)中的x、y可以分别用第三个变量t来表示，因此在利用参数方程解题时就可以消去x、y，转化为关于t的方程或关于t的函数问题了．3．利用参数方程或参数的方法解题时，要注意合理选参，巧妙消参．名师解惑参数方程在解题中的应用．剖析：参数方程在解析几何中是一个十分重要的内容，而且是高中数学的一个

7、难点．近几年来高考对参数方程和极坐标的要求稍有降低，但是，可用参数方程求解的问题和内容有所增加且与三角函数联系紧密．参数方程在解题中的应用主要体现在以下几个方面：1.探求几何最值问题:在求多元函数的几何最值有困难时，我们不妨采用参数方程进行转化，化为求三角函数的最值问题来处理；2.解析几何中证明型问题：运用直线和圆的标准形式的参数方程中参数的几何意义，能简捷地解决与过定点的直线上的动点到定点的距离有关的问题；3.探求解析几何定值型问题：在解析几何中点的坐标为(x，y)，有两个变元，若用参数方程则只有一个变元，则对于有定值和最值的问题，参数法显然比较简捷．讲练互动【例题1】设P是椭圆2

8、x2+3y2=12上的一个动点，则x+2y的最大值为______________，最小值为______________．解析：思路一：注意到变量（x，y）的几何意义，故研究二元函数x+2y的最值时，可转化为几何问题．若设x+2y=t，则方程x+2y=t表示一组直线（t取不同的值，方程表示不同的直线），显然（x，y）既满足2x2+3y2=12，又满足x+2y=t，故点（x，y）是方程组的公共解.由题意，可知直线x+2y=t与椭圆总有公共点，从而转化为研究消元后的一元二次方程的判别式Δ≥0．令x+2y=t，联立得方程组该方程组有解，消去x，得关于y的一元二次方程11y2-8t·y+(2t2

9、-12)=0．由Δ=64t2-4×11×(2t2-12)≥0,解得-≤t≤．所以x+2y的最大值为，最小值为-．思路二：由于研究二元函数x+2y相对困难，因此有必要消元，但由x、y满足的方程2x2+3y2=12表示出x或y，会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简捷，能否有其他途径把二元函数x+2y转化为一元函数呢？由椭圆的方程2x2+3y2=12，可设(θ∈［0,2π))，代入到x+2y中，得x+2y=cosθ+2×2sinθ=sin(θ+φ)，其中tanφ=．由于－1≤sin(θ+φ)≤1，所以-≤x+2y≤．所以x+2y的最大值为，最小值为-．答案：-绿色通道以上两种方法都是

10、通过引入新的变量来转化问题，方法一是通过引入t，而把x+2y几何化为直线的纵截距的最值问题；方法二则是利用椭圆的参数方程，设出点P的坐标（cosθ，2sinθ)代入到x+2y中，转化为一元函数f(θ)求最值．变式训练1.点P在椭圆上，求点P到直线3x-4y=24的最大距离和最小距离．解：设P(4cosθ,3sinθ)，则d=，当cos(θ+)=-1时，dmax=(2+)；当cos(θ+)=1时，dmin=(2-)．【例题2】求函数的最大值和最小值．思路分析：的形式类似于斜率的形式，因此可以把看作是动点(cosθ，sinθ)与定点（２，１）连线的斜率．所求问题转化为求斜率y的最大值和最小

11、值．由于动点(cosθ，sinθ)在圆x2+y2＝１上，因此可以把这个问题转化到图形上来处理．解：如图所示，依题意，要求函数y=f(θ)=的最大值与最小值，等于求动点P(x,y)与定点（２，１）连线的斜率的最大值和最小值．从图上可以得知，直线PM的方程为y-1=k(x-2)，即kx-y+1-2k＝0．当直线PM与圆相切时，斜率分别为最大、最小值，此时

12、OP

13、＝１，即＝１，解得k＝0或k=∴f(θ)min=0,f(θ)max=．绿色通道可以看出，