高中数学第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.3两角和与差的正切学案新人教b版必修4

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1、3.1.3　两角和与差的正切基础知识基本能力1．理解两角和与差的正切公式的推导过程．(重点)2．掌握两角和与差的正切公式及其变形．(重点、难点)3．理解两角和与差的正切公式的适用条件．(易错点)1．能运用两角和与差的正切公式进行化简、求值和证明．(重点)2．掌握公式的正用、逆用与变形用，尤其是变形公式tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)经常考查．(难点)3．灵活运用“1”的代换，在某些问题的解决中，常将“1”替换成tan，sin2α＋cos2α，tanαcotα等．(重点、易错点)两角和与差的正切公式两角

2、和的正切公式：tan(α＋β)＝，(Tα＋β)两角差的正切公式：tan(α－β)＝.(Tα－β)在两角和与差的正切公式中，α和β的取值应使分母不为零．【自主测试1】与相等的是(　　)A．tan66°B．tan24°C．tan42°D．tan21°解析：由两角差的正切公式，原式＝＝tan(45°－21°)＝tan24°.答案：B【自主测试2】(2011·浙江温州模拟)非零向量a＝(sinθ，2)，b＝(cosθ，1)，若a与b共线，则tan＝________.解析：由a∥b得，sinθ－2cosθ＝0，即tanθ＝2，∴tan＝＝

3、＝.答案：两角和与差的正切公式成立的条件及作用剖析：(1)公式成立的条件：α≠kπ＋，β≠kπ＋，α＋β≠kπ＋或α－β≠kπ＋，以上式子均有k∈Z.当tanα，tanβ，tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式解决．如化简tan，因为tan的值不存在，不能利用公式Tα＋β，所以改用诱导公式来解：tan＝＝＝＝cotα.(2)两角和与差的正切公式同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，要熟练掌握：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，1∓tanαtanβ＝.如t

4、an25°＋tan20°＋tan25°tan20°＝tan(25°＋20°)·(1－tan25°tan20°)＋tan25°tan20°＝tan45°(1－tan25°·tan20°)＋tan25°tan20°＝1－tan25°tan20°＋tan25°tan20°＝1.所以在处理问题时，要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了．(3)与两角和与差的正弦函数公式和余弦函数公式一样，两角和与差的正切公式对分配律也不成立，即tan(α＋β)≠tanα＋tanβ.题型一给值求值问题【例题1】已知sinα＝－，α是

5、第四象限的角，求tan和tan的值．分析：已知sinα的值，求tan用两角差的正切公式，而求tan则只能用诱导公式来做．解：因为sinα＝－，α是第四象限的角，所以cosα＝＝＝，所以tanα＝＝＝－.于是有tan＝＝＝－7，tan＝＝＝＝＝.反思在运用两角和与差的正切公式来解题时，一定要注意公式成立的条件．当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能利用公式Tα＋β，可改用诱导公式或其他方法．【例题2】已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan.分析：如果通过已知解出tanα再求值，计算量大．由于α＋＝(α＋β)－

6、，所以可以直接利用公式来求解．解：tan＝tan＝＝＝.反思在解题时切记不要盲目地看到是和差角的形式就套用公式，那样会增加计算量，而且容易出错，要先整体观察题目的特点，再寻找最简的解题方法，这是我们要培养的良好习惯．题型二两角和与差的正切公式的变形使用【例题3】计算：(1)tan10°tan20°＋(tan10°＋tan20°)＝__________.(2)＝__________.解析：(1)原式＝tan10°tan20°＋(1－tan10°tan20°)·tan(10°＋20°)＝tan10°tan20°＋1－tan10°ta

7、n20°＝1.(2)∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝，∴tan20°＋tan40°＝－tan20°tan40°.∴＝＝1.答案：(1)1　(2)1反思本题的两个小题都是考查两角和的正切公式的变形运用，含α，β两角的正切和与正切积的式子，用两角和与差的正切公式的变形比较容易处理．在历届高考试题中，曾多次考查过两角和与差的正切公式及其变形的应用，在学习过程中，对此应予以重视．题型三给值求角问题【例题4】如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分

8、别为，.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．分析：(1)先根据cosα＝，cosβ＝，求出tanα，tanβ，再用和角公式求tan(α＋β)．(2)先求α＋2β的正切值再求角．解：由条件，得cosα＝，cosβ＝.∵α，β为锐角，∴sinα＝＝，