高中数学第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.3两角和与差的正切课堂探究学案新人教b版必修4

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1、3.1.3　两角和与差的正切课堂探究探究一利用和(差)角正切公式求值对于形如：的式子，常常分子、分母同时除以cosα转化为的形式，再化为的形式，逆用公式Tα＋β即可．【例1】计算：(1)；(2)；(3)tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°．分析：由两角和与差公式Tα±β的特点易知(1)(2)可逆用公式Tα±β，而(3)应使用公式Tα＋β的变形．解：(1)解法一：tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝＝＝2＋．所以＝＝＝－＝－．解法二：＝＝tan(45°＋75°)＝tan120°＝－tan60°＝－．(2)＝＝＝＝tan(45°－15°)＝tan30°＝．

2、(3)公式tan(α＋β)＝可变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，所以tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝tan45°(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝tan45°＝1．探究二给值求值问题若所求三角函数的角可用已知三角函数的角的和或差表示就可求出其值，即角变换思想同样可以运用到和差角的正切公式上求值．【例2】已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan2α，tan2β，tan的值．解：tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－．tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝＝＝．

3、tan＝＝＝．探究三给值求角问题【例3】已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．分析：已知α－β及β角的正切，要求2α－β的正切，必须通过角变换，2α－β＝α＋(α－β)，α＝(α－β)＋β，故需先求出α角的正切．解：因为tanβ＝－，tan(α－β)＝，所以tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝，tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝＝1．因为tanα＝>0，tanβ＝－<0，所以α∈，β∈．所以α－β∈(－π，0)．又因为tan(α－β)＝>0，所以α－β∈，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．而tan(2α－β)＝1，所

4、以2α－β＝－．评注该小题的解题思路是利用角变换求出了2α－β角的正切值，难点和关键是通过判断值的大小缩小2α－β角的范围．若仅仅根据已知条件告诉的α和β的范围判断2α－β的范围，这个范围是非常大的，这个范围是(－π，π)，则正切值为1的角有和－，导致错误答案．探究四易错辨析易错点：对角的取值范围把握不准致误【例4】已知tanα，tanβ是方程x2＋x＋4＝0的两个根，且α，β∈，则α＋β的值等于(　　)A．B．－或C．－或D．－错解：因为tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，所以tanα＋tanβ＝－3，tanαtanβ＝4．所以tan(α＋β)＝＝＝．又因为

5、α，β∈，所以α＋β∈(－π，π)．所以α＋β＝－或α＋β＝．故选B．错因分析：忽视了tanα，tanβ是两个负根这一隐含条件，从而导致增解现象．正解：因为tanα，tanβ是方程x2＋x＋4＝0的两个根，所以tanα＋tanβ＝－＜0，tanαtanβ＝4＞0．所以tanα，tanβ是方程x2＋x＋4＝0的两个负根，即tanα＜0，tanβ＜0．因为α，β∈，所以α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)．又因为tan(α＋β)＝＝＝，所以α＋β＝－．故选D．答案：D