高中数学第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦学案新人教b版必修4

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1、3.1.1　两角和与差的余弦基础知识基本能力1．会推导两角差的余弦公式．(难点)2．掌握两角和与差的余弦公式及适用范围．(重点、易错点)1．通过对两角差的余弦公式的证明，进一步体会用向量法证明问题的作用．(难点)2．能运用两角和与差的余弦公式解决相关的求值、化简和证明等问题．(重点)3．不仅要掌握公式的正向运用，更要注重公式的逆向应用．(难点)两角和与差的余弦公式两角和的余弦公式：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β，(Cα＋β)两角差的余弦公式：cos(α－β)＝cos_αco

2、s_β＋sin_αsin_β.(Cα－β)【自主测试1】cos75°等于(　　)A．B．C．D．答案：C【自主测试2】(2012·福建三明联考)计算：cos13°·cos47°＋sin13°·cos137°＝__________.答案：【自主测试3】已知sinα＝，α∈，则cos＝________.答案：1．对Cα±β的理解和记忆剖析：(1)公式的结构特征和符号规律：对于两角和与差的余弦公式Cα±β可以简记为“余余正正，和差相反”．(2)注意事项：不要误记为cos(α－β)＝cosα－cosβ或cos(

3、α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.(3)该公式是整章三角函数公式的基础，要理解该公式的推导方法．公式的应用要讲究一个“活”字，即正用，逆用，变形用，还要创造条件应用公式，如构造角：β＝(α＋β)－α，β＝－等．2．注意cos(α－β)＝cosα－cosβ成立的条件剖析：许多人初学三角函数时，容易做一个错误的知识迁移，由a(b＋c)＝ab＋ac来思考cos(α－β)，把它看成是cos与(α－β)的乘积，于是便有了cos(α－β)＝cosα－cosβ，实际上，cos是一个函数符号，cos(α－β

4、)是一个整体，所以不能由彼及此．可以取一些特殊的值来验证，如α＝，β＝，则cos(α－β)＝cos＝cos＝，cosα－cosβ＝cos－cos＝－，显然，此时cos(α－β)≠cosα－cosβ，但当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos＝cos＝，cosα－cosβ＝cos－cos＝－0＝.此时cos(α－β)＝cosα－cosβ，但这仅仅只是一个巧合而已．在做选择题时尤其要注意这一点．名师点拨(1)运用任何公式都要注意其成立的条件，比如上述的等式不是恒成立的；(2)对于两角和与差的余弦公式，在使用

5、时不仅要会正用，还要能够逆用公式，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题．如由cos50°cos20°＋sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°＋sin50°sin20°＝cos(50°－20°)＝cos30°＝.题型一直接利用两角和与差的余弦公式求值【例题1】求值：(1)cos15°cos15°－sin15°sin15°；(2)sin(110°＋x)cos(x－40°)＋cos(x－70°)·sin(220°－x)．分析：(1)逆用两角和的余弦公式即可．(2)统一函数名称，统一角，使其

6、符合两角和与差的余弦公式的结构．解：(1)原式＝cos(15°＋15°)＝cos30°＝.(2)原式＝cos(x＋20°)cos(x－40°)＋sin[90°＋(x－70°)]sin(x－40°)＝cos(x＋20°)cos(x－40°)＋sin(x＋20°)sin(x－40°)＝cos[(x＋20°)－(x－40°)]＝cos60°＝.反思公式Cα±β是三角恒等式，既可正用，也可逆用，一定要注意公式的结构名称、特征，灵活变换角或名称，同时在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角

7、转化成特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题，然后利用公式化简求值．题型二给值求值问题【例题2】已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.解析：利用α＋＝(α＋β)－来求值．∵α，β∈，∴α＋β∈.∴cos(α＋β)＝＝.又β－∈，∴cos＝－＝－.∴cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝×＋×＝－.答案：－反思本题属于“给值求值”的题目，“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中经常用到，因为变角后可

8、充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明．常见的角的变换方式：α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)＝[(α＋β)＋(α－β)]＝[(α＋β)－(β－α)]，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(α＋β)－(β－α)，4α＝2·2α，α＝2·，α＋2β＝(α＋β)＋β等．变换的方式很多，需要自己慢慢地体会和探索．〖互动探究〗将本例中“sin(α＋β)＝－”改为“cos(α＋β)＝”，其他条件不变，结果又如何？解：结果为－.题型三给值求角问题【例题3